Sin, cos och tan – räkna ut sinus, cosinus och tangens

Vad är sinus, cosinus och tangens?

Sinus, cosinus och tangens är tre funktioner som kopplar ihop en vinkel med förhållanden mellan sidor. De är grunden i trigonometrin, den del av matematiken som handlar om att räkna ut sidor och vinklar i trianglar utan att mäta allt. Vet du en vinkel och en sida i en rätvinklig triangel kan du räkna ut resten, och det är precis det som gör funktionerna så användbara.

I en rätvinklig triangel med den spetsiga vinkeln $v$ gäller:

• sin v = motstående katet / hypotenusa
• cos v = närliggande katet / hypotenusa
• tan v = motstående katet / närliggande katet, vilket också är $\frac{\sin v}{\cos v}$

Förhållandena beror bara på vinkeln, inte på hur stor triangeln är. Två rätvinkliga trianglar med samma spetsiga vinkel är likformiga, och i likformiga trianglar är kvoten mellan motsvarande sidor densamma. Därför har till exempel sin 30° alltid värdet 0,5, oavsett om triangeln är ritad på ett papper eller är en takstol.

Från triangeln till enhetscirkeln

Triangeldefinitionen fungerar bara för vinklar mellan 0° och 90°. För att kunna tala om sin 150° eller cos 240° används enhetscirkeln, en cirkel med radien 1 och medelpunkt i origo. Vinkeln mäts moturs från positiva x-axeln, och den punkt där vinkelns ben skär cirkeln har koordinaterna $(\cos v;\sin v)$. Eftersom hypotenusan är 1 blir det samma sak som i triangeln när vinkeln är spetsig, men definitionen fungerar för alla vinklar, även negativa och större än ett varv.

Ur bilden följer flera samband direkt. Punkten ligger på cirkeln, så enligt Pythagoras sats gäller ${\sin }^{2}v+{\cos }^{2}v=1$ för alla vinklar. Sinus och cosinus ligger därför alltid mellan −1 och 1, medan tangens kan bli hur stor som helst. Tecknet beror på kvadranten: i andra kvadranten är cosinus negativ, i tredje är båda negativa och i fjärde är sinus negativ.

Exakta värden för standardvinklarna

Några vinklar ger värden som går att skriva exakt med rötter. De kommer från två trianglar: den halva kvadraten med vinklarna 45°, 45° och 90°, och den halva liksidiga triangeln med 30°, 60° och 90°. Använder du Pythagoras sats på dem får du sidorna och därmed värdena.

• 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3
• 45°: sin = √2/2, cos = √2/2, tan = 1
• 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3
• 90°: sin = 1, cos = 0, tan saknas

Kalkylatorn visar det exakta värdet när du skriver in en standardvinkel, även i andra kvadranter som 150° eller 225°. Det är bra när en uppgift kräver exakt svar och du inte får avrunda.

Räknade exempel

Vinkeln 30° ger sin 30° = 0,5, cos 30° ≈ 0,866 och tan 30° ≈ 0,5774. Exakt är det sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3.

Vinkeln 37° är ingen standardvinkel. Då blir sin 37° ≈ 0,6018, cos 37° ≈ 0,7986 och tan 37° ≈ 0,7536. Står du 12 meter från ett hus och ser takfoten under vinkeln 37° ovanför ögonhöjd är höjdskillnaden $12·\tan 37°\approx 9$ meter. Den typen av mätning har en egen höjdmätningskalkylator.

Vinkeln 150° ligger i andra kvadranten. Där är sinus positiv och cosinus negativ: sin 150° = 0,5 och cos 150° ≈ −0,866. Sinusvärdet är samma som för 30°, eftersom 150° = 180° − 30° och punkterna ligger spegelvänt kring y-axeln.

Vinkeln 2 radianer motsvarar ungefär 114,59°. Det ger sin 2 ≈ 0,9093 och cos 2 ≈ −0,4161. Räknar du i grader men har räknaren i radianläge får du just den här typen av oväntade svar, se avsnittet om räknaren nedan. Omvandlingen gör grader- och radiankalkylatorn.

Vanliga fel

• Fel vinkelläge på räknaren. sin 30 i radianläge ger cirka −0,988 i stället för 0,5. Kontrollera alltid vinkelläget innan du börjar.
• Fel sida som motstående och närliggande. Det beror på vilken vinkel du utgår från. Hypotenusan är alltid den längsta sidan, mittemot den räta vinkeln.
• Att tro att sin 2v = 2 sin v. Sinus är ingen proportionell funktion: sin 60° ≈ 0,866, inte 2 · 0,5 = 1.
• Att läsa sin⁻¹ som 1/sin. På räknaren betyder sin⁻¹ den inversa funktionen arcsin, som ger vinkeln. Den har en egen kalkylator för invers trigonometri.
• Att räkna tan 90°. Där är cosinus 0, och division med noll är inte definierad.

Typiska provuppgifter

De flesta uppgifter om sin, cos och tan går att dela in i några typer. Den första är att räkna ut en sida: rita triangeln, markera vinkeln, bestäm vilka två sidor uppgiften handlar om och välj den funktion som innehåller just dem. Ställ upp till exempel $\sin 40°=\frac{x}{8}$ och lös ut $x=8·\sin 40°$.

Den andra typen är att räkna ut en vinkel när två sidor är kända. Då ställer du upp kvoten och använder den inversa funktionen, till exempel $v={\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$. Den tredje typen är exakta värden utan räknare, där du ska kunna tabellen ovan och använda enhetscirkeln för att avgöra tecknet. Den fjärde är trianglar som inte är rätvinkliga, och där behövs sinussatsen eller cosinussatsen, som båda finns i triangellösaren.

Tillämpningar

Trigonometri används överallt där vinklar och avstånd hänger ihop. En snickare som ska kapa reglar till en snedsträva räknar ut längden med cosinus och kapvinkeln med tangens. Lutningen på en ramp eller ett tak är tangens för vinkeln mot marken, så 30° taklutning motsvarar en stigning på cirka 58 cm per meter. I fysiken delas krafter upp i komposanter med sin och cos, och i ljud- och elteknik beskriver sinuskurvor svängningar och växelström.

Graferna för sin, cos och tan

Låter du vinkeln gå runt enhetscirkeln och ritar upp y-koordinaten får du sinuskurvan, en våg som pendlar mellan −1 och 1 och upprepar sig efter 360°, alltså $2\pi$ radianer. Det kallas att funktionen är periodisk. Cosinuskurvan har exakt samma form men är förskjuten 90° åt vänster, eftersom $\cos v=\sin (v+90°)$. Tangenskurvan ser helt annorlunda ut: den upprepar sig redan efter 180° och har lodräta asymptoter vid 90°, 270° och så vidare, där cosinus är noll.

Periodiciteten förklarar varför en ekvation som sin v = 0,5 har oändligt många lösningar. Varje gång kurvan passerar 0,5 är det en lösning, två gånger per varv. I uppgifter brukar man därför ange alla lösningar som $v=30°+n·360°$ eller $v=150°+n·360°$, där n är ett heltal.

Så gör du på räknaren

• Ställ in rätt vinkelläge. Det görs i räknarens inställningsmeny (SETUP eller MODE beroende på modell), där du väljer grader (Deg) eller radianer (Rad).
• Tryck sin, skriv vinkeln, stäng parentesen och tryck =. Exempel: sin(37) = ger cirka 0,6018 i gradläge.
• För vinkeln från ett känt värde: SHIFT sin (sin⁻¹), skriv värdet och tryck =.
• Kontrollera rimligheten: sin och cos ska ligga mellan −1 och 1, och sin 30° ska bli exakt 0,5.

Fler kalkylatorer inom samma område finns bland kalkylatorerna för trigonometri och på matematiksidan.