Båglängd – räkna ut längden på en cirkelbåge

Vad är båglängd?

En cirkelbåge är en del av en cirkels omkrets. Båglängden är hur lång den delen är om man mäter längs kurvan, som om man lade ett snöre längs kanten och sedan sträckte ut det. Bågen bestäms av två saker: cirkelns radie och medelpunktsvinkeln, den vinkel som bågens två ändpunkter bildar med cirkelns mittpunkt. Tillsammans med två radier bildar bågen en cirkelsektor, en tårtbit.

Formeln och varför den fungerar

Hela omkretsen är $2\pi r$ och svarar mot 360°. En båge med vinkeln $v$ är lika stor andel av omkretsen som vinkeln är av ett helt varv. Det ger formeln i grader:

• I grader: $b=\frac{v}{360°}·2\pi r$
• I radianer: $b=r·v$
• Vinkeln baklänges (radianer): $v=\frac{b}{r}$
• Radien baklänges: $r=\frac{b}{v}$, med v i radianer

Formeln i radianer är så enkel för att radianen är definierad just så: en radian är den vinkel där bågen är lika lång som radien. Två radianer ger en båge som är två radier lång, och så vidare. Om du sätter in $v=\frac{\pi }{180}·v_{\mathrm{grader}}$ i $b=r·v$ får du tillbaka gradformeln. Omvandlingen gör grader- och radiankalkylatorn.

Exempel: radie 10 cm och 72°

72° är en femtedel av ett varv. Omkretsen är $2\pi ·10\approx \mathrm{62,83}$ cm, och en femtedel av den är 12,57 cm. I radianer är 72° lika med 1,2566 rad, och $10·\mathrm{1,2566}\approx \mathrm{12,57}$ ger samma svar. Kordan, det raka avståndet mellan ändpunkterna, är kortare: 11,76 cm. Sektorn har arean 62,83 cm².

Exempel: en grad längs jordytan

Jordens medelradie är ungefär 6 371 km. En båge på 1° längs en meridian blir då $6371·\frac{\pi }{180}\approx \mathrm{111,19}$ km. I kalkylatorn skriver du 6371 som radie och läser svaret i samma enhet, alltså km. Det är skälet till att en breddgrad är drygt elva mil, och att en bågminut, en sextiondel av en grad, är ungefär 1,85 km, vilket är en nautisk mil. Hela omkretsen runt jorden blir cirka 40 000 km.

Exempel: list runt en rundad vägg

Ska du sätta en golvlist längs en kvartscirkelformad vägg med radien 60 cm behöver du båglängden för 90°. Den blir 94,25 cm, alltså knappt en meter. Den raka sträckan mellan hörnen är bara 84,85 cm, så mäter du rakt över blir listen för kort. Det totala behovet av lister för ett rum räknar list- och sockelkalkylatorn ut.

Räkna baklänges

Vet du båglängd och radie får du vinkeln direkt i radianer genom att dela: en båge på 8 cm i en cirkel med radien 5 cm ger $v=\frac{8}{5}=\mathrm{1,6}$ rad, vilket är 91,7°. Vet du båglängden och vinkeln får du radien. En halvcirkel, 180°, med båglängden 31,42 cm har radien 10 cm.

Fler tillämpningar

Båglängd dyker upp överallt där något rör sig längs en cirkel. Ett cykelhjul med diametern 70 cm rullar en omkrets, ungefär 2,2 meter, per varv, och ett kvarts varv flyttar cykeln en fjärdedel av det. En vägkurva projekteras ofta som en cirkelbåge med en given radie, och längden på kurvan är då båglängden. Snickare som böjer en list eller en skiva kring ett rundat hörn behöver båglängden för att kapa rätt, och i trädgården gäller samma sak för en rundad kantsten eller en rabattkant. I alla fallen är principen densamma: ta reda på radien och vinkeln, eller mät två av de tre storheterna och låt den tredje räknas ut.

Vanliga fel

• Formeln $b=r·v$ används med vinkeln i grader. Då blir svaret 57 gånger för stort. Formeln gäller bara i radianer.
• Diametern sätts in i stället för radien. Halvera diametern först.
• Bågen förväxlas med kordan. Kordan är den raka linjen och är alltid kortare än bågen.
• Fel vinkel används. Medelpunktsvinkeln har sin spets i cirkelns mitt, inte på cirkelbågen. En randvinkel som spänner över samma båge är bara hälften så stor.

Typiska provuppgifter

En vanlig uppgift ger en cirkelsektor och frågar efter omkretsen av hela sektorn. Då ska du lägga ihop båglängden och två radier: för radien 10 cm och 72° blir det 12,57 + 10 + 10 ≈ 32,6 cm. En annan typ handlar om en klocka: hur långt går minutvisarens spets på 20 minuter om visaren är 12 cm? 20 minuter är en tredjedel av ett varv, 120°, så sträckan blir $\frac{120}{360}·2\pi ·12=8\pi \approx \mathrm{25,1}$ cm. Det finns också uppgifter där vinkeln ges i radianer och svaret ska anges exakt, till exempel $b=6·\frac{\pi }{3}=2\pi$.

Kordan och sektorns area

Kordan räknas med sinus: $k=2r·\sin \frac{v}{2}$. Den kommer från en rätvinklig triangel som bildas när man drar en linje från mitten vinkelrätt mot kordan. Sektorns area är $\frac{r^{2}v}{2}$ i radianer, eller bågen gånger radien delat med två, $\frac{b·r}{2}$. Hela cirkelns area och omkrets räknar cirkelkalkylatorn och omkretskalkylatorn ut.

Så gör du på räknaren

• Grader: 72 ÷ 360 × 2 × π × 10 =.
• Radianer: 10 × 1,2566 = (räknarens läge spelar ingen roll, det är bara multiplikation).
• Vinkel ur båge: 8 ÷ 5 = ger radianer. Multiplicera med 180 ÷ π för grader.
• Kordan: 2 × 10 × sin(36) = med räknaren i DEG-läge.

Hur sinus och cosinus hänger ihop med punkter på en cirkel visar enhetscirkeln. Fler kalkylatorer finns bland trigonometrikalkylatorerna och på matematiksidan.