Sinussatsen – räkna ut sida eller vinkel

Vad säger sinussatsen?

Sinussatsen gäller i alla trianglar, inte bara rätvinkliga. Den säger att kvoten mellan en sida och sinus för vinkeln mittemot är lika stor för alla tre sidorna:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Det gäller också att den längsta sidan alltid står mittemot den största vinkeln. För att använda satsen behöver du ett komplett par, en sida och dess motstående vinkel, och därtill ytterligare ett mått. Satsen kan också skrivas upp och ner, $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}$, vilket är smidigare när du söker en vinkel.

Varför stämmer sinussatsen?

Dra höjden $h$ från hörnet $C$ ner mot sidan $c$. Den delar triangeln i två rätvinkliga trianglar. I den ena är $h$ motstående katet till vinkeln $A$ med hypotenusan $b$, så $h=b·\sin A$. I den andra är $h$ motstående katet till $B$ med hypotenusan $a$, så $h=a·\sin B$. Eftersom det är samma höjd blir $b·\sin A=a·\sin B$, och delar du båda leden med $\sin A·\sin B$ får du sinussatsen. Samma höjd ger förresten areasatsen, eftersom arean är halva basen gånger höjden.

Härledningen bygger på vanlig sinus i rätvinkliga trianglar. Om vinkeln är trubbig hamnar höjden utanför triangeln, men eftersom $\sin (180°-v)=\sin v$ blir resultatet detsamma.

Exempel 1: räkna ut en sida

Sidan $a$ = 8 cm står mittemot vinkeln $A$ = 50°, och vinkeln $B$ = 70°. Då är $b=\frac{8·\sin 70°}{\sin 50°}$ ≈ 9,81 cm. Den tredje vinkeln blir $C$ = 180° − 50° − 70° = 60° enligt vinkelsumman, och samma kvot ger $c$ ≈ 9,04 cm. Kvoten $\frac{a}{\sin A}$ är här 10,44, och det är också diametern på den cirkel som går genom triangelns tre hörn.

Det sambandet kallas ibland den utvidgade sinussatsen: $\frac{a}{\sin A}=2R$, där $R$ är radien i den omskrivna cirkeln. Det förklarar varför kvoten är lika för alla tre sidorna. Alla hörn ligger på samma cirkel, och varje sida är en korda vars längd bara beror på radien och vinkeln mittemot. Har du en triangel inskriven i en cirkel med känd radie kan du alltså direkt räkna ut varje sida som $2R·\sin$ för motstående vinkel. I exemplet ovan är radien 5,22 cm.

Exempel 2: räkna ut en vinkel och två lösningar

Nu vet vi $a$ = 8 cm, $b$ = 9 cm och $A$ = 50°. Sinussatsen ger $\sin B=\frac{9·\sin 50°}{8}$ och räknaren ger $B$ ≈ 59,52°. Men även 180° − 59,52° = 120,48° har samma sinusvärde, och den vinkeln får också plats ihop med $A$, eftersom summan blir under 180°. Det finns alltså två trianglar som passar måtten. Kalkylatorn visar den spetsiga och skriver ut den andra.

Med $a$ = 10 och $b$ = 9 blir det bara en lösning, eftersom sidan mittemot den kända vinkeln är längst: $B$ ≈ 43,59°. Med $a$ = 5, $b$ = 9 och $A$ = 70° blir $\sin B$ större än 1, och då finns ingen triangel alls. Kalkylatorn varnar för det. En sinus kan aldrig vara större än 1.

Det tvetydiga fallet i korthet

• Söker du en sida finns alltid exakt en lösning, så länge vinklarna tillsammans är under 180°.
• Söker du en vinkel ur två sidor och en vinkel som inte ligger mellan dem kan det bli två, en eller ingen lösning.
• Är den kända vinkeln spetsig och sidan mittemot den minst lika lång som den andra sidan finns bara en lösning.
• Är den kända vinkeln trubbig eller rät måste sidan mittemot vara längst. Annars finns ingen triangel.
• I övriga fall med spetsig vinkel: räkna ut båda vinklarna, $B$ och 180° − $B$, och kontrollera om summan med $A$ blir under 180°.

Vill du se båda trianglarna sida vid sida, med alla sidor och vinklar, använder du triangellösaren och väljer fallet SSV.

Vanliga fel

• Sidor och vinklar hör inte ihop. I varje bråk måste sidan stå mittemot vinkeln.
• Räknaren står i radianer. Kontrollera vinkelläget innan du börjar.
• Den trubbiga lösningen glöms bort. Arcsin på räknaren ger aldrig mer än 90°.
• Sinussatsen används utan ett komplett par. Vet du bara två sidor och vinkeln mellan dem behövs i stället cosinussatsen.

Typiska provuppgifter

Den klassiska uppgiften ger två vinklar och en sida och frågar efter en annan sida. Lösningsgången är att först räkna ut den tredje vinkeln, sedan ställa upp sinussatsen med det par du känner och lösa ut den sökta sidan. En svårare variant ger två sidor och en vinkel och frågar hur många trianglar som finns. Då ska båda vinkelvärdena räknas ut och prövas. I uppgifter med flera trianglar, till exempel en fyrhörning med en diagonal, används sinussatsen ofta i den ena triangeln och cosinussatsen i den andra.

Tillämpning: avstånd du inte kan mäta

Sinussatsen är grunden för triangelmätning. Två personer står 500 m från varandra längs en strand och siktar mot en fyr ute i vattnet. Vinklarna mellan strandlinjen och fyren är 62° och 71°. Vinkeln vid fyren blir då 180° − 62° − 71° = 47°, och den står mittemot strandsträckan. Avståndet från personen vid 71°-vinkeln till fyren blir $\frac{500·\sin 62°}{\sin 47°}$ ≈ 604 m. På samma sätt mäts avstånd över sjöar och raviner i lantmäteri. Mäter du sträckor på en karta behöver du först räkna om dem med kartskalan.

Så gör du på räknaren

• Ställ räknaren i grader (DEG).
• Sida: 8 × sin 70 ÷ sin 50 =.
• Vinkel: SHIFT sin (9 × sin 50 ÷ 8) =. Den andra lösningen är 180 minus svaret.
• Ger räknaren Math ERROR när du söker en vinkel är sinusvärdet över 1, och då finns ingen triangel.

Grundmått och area för trianglar finns i triangelkalkylatorn. Alla trigonometriverktyg finns bland trigonometrikalkylatorerna och övrig matte på matematiksidan.