Triangellösare – räkna ut alla sidor och vinklar

Vad betyder det att lösa en triangel?

En triangel har sex mått: tre sidor och tre vinklar. Att lösa triangeln betyder att räkna ut de mått du inte vet ur de du vet. Det räcker nästan alltid med tre mått, förutsatt att minst ett av dem är en sida. Tre vinklar räcker inte, eftersom en liten och en stor triangel kan ha exakt samma vinklar. De är likformiga men inte lika stora.

Beteckningarna följer en fast regel: sidan $a$ står mittemot vinkeln $A$, sidan $b$ mittemot $B$ och sidan $c$ mittemot $C$. Den regeln är nyckeln till både sinussatsen och cosinussatsen, så det lönar sig att märka ut figuren innan du räknar.

De fem fallen

Vilka tre mått du har avgör vilken metod som fungerar. Förkortningarna läses runt triangeln, där S är sida och V är vinkel.

• SSS, tre sidor: cosinussatsen ger en vinkel i taget. Alltid en entydig lösning, om sidorna uppfyller triangelolikheten.
• SVS, två sidor och vinkeln mellan dem: cosinussatsen ger den tredje sidan, sedan vinklarna. Alltid en lösning.
• VSV, två vinklar och sidan mellan dem: vinkelsumman ger den tredje vinkeln, sinussatsen sidorna. Alltid en lösning.
• VVS, två vinklar och en sida som inte ligger mellan dem: samma metod som VSV. Alltid en lösning.
• SSV, två sidor och en vinkel som inte ligger mellan dem: sinussatsen ger en vinkel, men svaret kan vara två trianglar, en eller ingen.

I de fyra första fallen bestäms triangeln helt, och det är samma villkor som används när man visar att två trianglar är kongruenta. Att vinkelsumman alltid är 180° gör att två vinklar automatiskt ger den tredje, se vinkelsummakalkylatorn.

Exempel 1: tre sidor (SSS)

En triangel har sidorna 5, 6 och 7 cm. Cosinussatsen löst för vinkeln ger $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\mathrm{bc}}=\frac{36+49-25}{84}$, och vinkeln $A$ ≈ 44,42°. På samma sätt blir $B$ ≈ 57,12° och $C$ ≈ 78,46°. Arean blir 14,7 cm² och triangeln är spetsvinklig. Börja gärna med den största vinkeln, den mittemot längsta sidan, eftersom cosinussatsen direkt visar om den är trubbig.

Exempel 2: två sidor och mellanliggande vinkel (SVS)

Sidorna $b$ = 6 cm och $c$ = 7 cm möts i vinkeln $A$ = 40°. Den tredje sidan blir $a^2=6^2+7^2-2·6·7·\cos 40°$, alltså $a$ ≈ 4,54 cm. Därefter blir $B$ ≈ 58,07° och $C$ ≈ 81,93°, och arean 13,5 cm².

Exempel 3: två vinklar och en sida (VSV)

Vinklarna $A$ = 40° och $B$ = 60° ligger på var sin sida om $c$ = 7 cm. Först $C$ = 180° − 40° − 60° = 80°. Sinussatsen ger sedan $a=\frac{c·\sin A}{\sin C}$ ≈ 4,57 cm och $b$ ≈ 6,16 cm. Fallet VVS räknas exakt likadant, bara med en annan känd sida i täljaren.

Det tvetydiga fallet: två sidor och en vinkel som inte ligger mellan dem

SSV är det enda fall där tre mått inte alltid räcker. Tänk dig att vinkeln $A$ och sidan $b$ ligger fast. Sidan $a$ ska nå från triangelns tredje hörn ner till baslinjen, ungefär som en pendel. Är $a$ för kort når den inte fram, och då finns ingen triangel. Är den precis lagom lång träffar den baslinjen i en rät vinkel. Är den lite längre kan den träffa baslinjen på två ställen, och då passar två olika trianglar måtten. Är $a$ minst lika lång som $b$ träffar den bara en gång på rätt sida. Resonemanget gäller när $A$ är spetsig. Är $A$ trubbig eller rät finns en triangel om $a$ är längre än $b$, annars ingen.

I räkningen syns det så här: sinussatsen ger $\sin B=\frac{b·\sin A}{a}$, och två vinklar mellan 0° och 180° har samma sinusvärde, nämligen $B$ och 180° − $B$. Båda är giltiga om den trubbiga också får plats tillsammans med $A$. Med $a$ = 5, $b$ = 6 och $A$ = 40° blir $B$ ≈ 50,47° eller $B$ ≈ 129,53°. Den första triangeln får sidan $c$ ≈ 7,78 cm och arean 15 cm², den andra $c$ ≈ 1,41 cm och arean 2,73 cm². Kalkylatorn visar båda med knappen Visa lösning.

Byter du till $a$ = 8 finns bara en triangel, med $B$ ≈ 28,82°, eftersom den trubbiga varianten inte får plats. Med $a$ = 3 finns ingen alls: sidan skulle behöva vara minst $6·\sin 40°$ ≈ 3,86 för att nå fram, och kalkylatorn säger ifrån. Räkna därför alltid ut båda vinklarna i SSV och kontrollera vilka som fungerar.

Vanliga fel

• Räknaren står i radianer. Kontrollera vinkelläget, annars blir varje sinus- och cosinusvärde fel.
• Sinussatsen för att få en vinkel som kan vara trubbig. Arcsin ger aldrig mer än 90°, så en trubbig vinkel missas. Använd cosinussatsen för den största vinkeln i stället.
• Fel par i sinussatsen. Sidan och vinkeln i varje bråk måste stå mittemot varandra.
• Avrundning i mellanled. Spara mellanresultat i minnet och avrunda först i svaret, annars kan vinkelsumman bli 179,9° eller 180,1°.
• Glömt den andra lösningen i SSV, eller tagit med en som inte får plats.

Typiska provuppgifter

En vanlig uppgift ger en skiss med tre mått utsatta och frågar efter en fjärde. Lösningsgången är densamma varje gång: märk ut sidor och vinklar, avgör vilket av de fem fallen det är, välj sats och räkna. Svårare uppgifter kombinerar flera trianglar, till exempel en fyrhörning som delas av en diagonal. Då löser du den ena triangeln först och använder diagonalen som känd sida i den andra. Uppgifter som uttryckligen frågar "hur många trianglar finns" handlar nästan alltid om SSV.

Är triangeln rätvinklig räcker det med vanlig trigonometri och Pythagoras sats, se kalkylatorn för rätvinkliga trianglar och Pythagoras sats. Triangellösaren fungerar ändå, eftersom cosinussatsen med 90° blir just Pythagoras.

Tillämpningar

Lantmätare har länge löst trianglar för att bestämma avstånd de inte kan mäta direkt. Samma teknik fungerar på en tomt: mäter du två sidor av ett hörn och vinkeln mellan dem kan du räkna ut den tredje sidan och arean. En trekantig tomt med sidorna 32 m och 25 m och vinkeln 75° mellan dem har den tredje sidan 35,14 m och arean 386 m². Snickare använder samma räkning för takstolar och snedsträvor, och inom navigering bestäms en position ur två bäringar och en känd sträcka.

Så gör du på räknaren

• Ställ räknaren i grader (DEG). Inställningen finns i räknarens inställningsmeny (SETUP eller MODE beroende på modell).
• Cosinussatsen för sida: 6 x² + 7 x² − 2 × 6 × 7 × cos 40 =, sedan √ på svaret.
• Cosinussatsen för vinkel: (6² + 7² − 5²) ÷ (2 × 6 × 7) =, sedan SHIFT cos på svaret.
• Sinussatsen för vinkel: SHIFT sin (6 × sin 40 ÷ 5) =. Räkna sedan 180 minus svaret för den andra möjliga vinkeln.

Bara arean? Då räcker areasatsen. Grundläggande mått för trianglar finns i triangelkalkylatorn. Alla verktyg för vinklar och trianglar finns bland trigonometrikalkylatorerna och resten på matematiksidan.