Rätvinklig triangel – räkna ut sidor och vinklar

Vad är en rätvinklig triangel?

En rätvinklig triangel har en vinkel som är exakt 90°. De två sidor som bildar den räta vinkeln kallas kateter och den tredje, längsta sidan kallas hypotenusa. Eftersom vinkelsumman i en triangel är 180° måste de två andra vinklarna tillsammans vara 90°, och båda är spetsiga. Den rätvinkliga triangeln är central i matematiken, eftersom alla andra trianglar kan delas upp i två rätvinkliga med en höjd. Allmänna trianglar har en egen triangelkalkylator.

I kalkylatorn kallas den räta vinkeln C och hypotenusan c. Vinkeln A står mittemot kateten a, och kateten b ligger intill A. Den namngivningen är vanlig och gör formlerna enkla att läsa.

Formlerna du behöver

Två verktyg räcker för att lösa varje rätvinklig triangel. Det första är Pythagoras sats, som kopplar ihop de tre sidorna. Det andra är de trigonometriska funktionerna, som kopplar ihop en vinkel med två sidor.

• Pythagoras sats: $a^2+b^2=c^2$
• $\sin A=\frac{a}{c}$, $\cos A=\frac{b}{c}$, $\tan A=\frac{a}{b}$
• Vinkelsumman: $A+B=90°$
• Area: $T=\frac{a·b}{2}$
• Höjd mot hypotenusan: $h=\frac{a·b}{c}$

Arean blir hälften av kateternas produkt eftersom två likadana rätvinkliga trianglar kan läggas ihop till en rektangel med sidorna a och b. Höjden mot hypotenusan får man genom att räkna arean på två sätt: $\frac{\mathrm{ab}}{2}=\frac{c·h}{2}$. Formeln med bara sidor finns i Pythagoraskalkylatorn, och funktionerna sin, cos och tan för valfri vinkel räknar sin-cos-tan-kalkylatorn ut.

Vilket mått ska du använda?

Kalkylatorn klarar fem kombinationer av kända mått. Det är också det prov brukar testa: vilken formel hör till vilka mått?

• Två kateter: hypotenusan med Pythagoras, vinkeln med $\tan A=\frac{a}{b}$.
• En katet och hypotenusan: den andra kateten med Pythagoras, vinkeln med sin eller cos.
• En vinkel och motstående katet: hypotenusan med $c=\frac{a}{\sin A}$.
• En vinkel och närliggande katet: motstående katet med $a=b·\tan A$.
• En vinkel och hypotenusan: kateterna med $a=c·\sin A$ och $b=c·\cos A$.

Två vinklar räcker inte. Då vet du formen men inte storleken, och det finns oändligt många likformiga trianglar som passar.

Räknade exempel

Den klassiska triangeln med kateterna 3 och 4 cm får hypotenusan $\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm. Vinkeln A blir ${\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\approx \mathrm{36,87}°$ och B därmed 53,13°. Arean är 6 cm² och höjden mot hypotenusan 2,4 cm.

En stege som är 4,2 meter lång står mot en vägg och bildar vinkeln 70° mot marken. Hur högt når den? Stegen är hypotenusa och höjden är kateten mittemot vinkeln: $a=\mathrm{4,2}·\sin 70°\approx \mathrm{3,95}$ m. Foten står $\mathrm{4,2}·\cos 70°\approx \mathrm{1,44}$ m från väggen. En brant stege är säkrare än en flack, och ett vanligt råd är omkring 75°, vilket motsvarar att foten står en fjärdedel av höjden ut från väggen.

Ett sadeltak har taklutningen 22° och halva husbredden är 6 m. Takets höjd över väggarna blir $6·\tan 22°\approx \mathrm{2,42}$ m, och takstolens snedsida $\frac{6}{\cos 22°}\approx \mathrm{6,47}$ m utan takfot. Samma räkning används när man beställer reglar till en takstol eller ett snedtak.

Vet du kateten 2,4 cm och hypotenusan 3 cm blir den andra kateten $\sqrt{3^2-{\mathrm{2,4}}^2}=\mathrm{1,8}$ cm och vinkeln A = ${\sin }^{-1}\left(\frac{\mathrm{2,4}}{3}\right)\approx \mathrm{53,13}°$. Och med vinkeln 25° mittemot en katet på 5 cm blir hypotenusan $\frac{5}{\sin 25°}\approx \mathrm{11,83}$ cm.

Två specialtrianglar värda att kunna

Två rätvinkliga trianglar dyker upp så ofta att det lönar sig att känna igen dem. Den första är den halva kvadraten, med vinklarna 45°, 45° och 90°. Kateterna är lika långa, och om de är 1 blir hypotenusan $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$. Den uppstår varje gång en kvadrat delas längs diagonalen, till exempel när man ska räkna ut diagonalen på en kakelplatta eller ett fönster.

Den andra är den halva liksidiga triangeln, med vinklarna 30°, 60° och 90°. Om hypotenusan är 2 är den korta kateten 1 och den långa $\sqrt{3}\approx \mathrm{1,732}$. Den korta kateten är alltså alltid hälften av hypotenusan, vilket är skälet till att sin 30° är exakt 0,5. I uppgifter utan räknare är det nästan alltid någon av de här två trianglarna som används, och sidförhållandena ger de exakta värdena direkt.

Kontrollera ditt svar

Ett par snabba kontroller avslöjar de flesta räknefel. Hypotenusan ska vara längre än varje katet men kortare än kateternas summa. Den största spetsiga vinkeln står alltid mittemot den längsta kateten. Och om du har räknat ut alla tre sidor ska $a^2+b^2$ bli samma tal som $c^2$, bortsett från avrundning. Stämmer inte det har du troligen blandat ihop två sidor.

Vanliga fel

• Pythagoras med fel sida som hypotenusa. Hypotenusan står ensam på ena sidan likhetstecknet och är alltid längst.
• Fel sida som motstående. Motstående och närliggande beror på vilken vinkel du utgår från. Rita triangeln och markera vinkeln först.
• Att addera i stället för subtrahera när en katet söks: $b=\sqrt{c^2-a^2}$, inte $\sqrt{c^2+a^2}$.
• Räknaren i radianläge. En vinkel på 36,87° kommer då ut som 0,64, vilket är vinkeln i radianer.
• Avrundning för tidigt. Avrunda först i slutsvaret, annars kan felen växa i flerstegsuppgifter.

Typiska provuppgifter

En vanlig uppgift ger en figur med en markerad vinkel och två sidor, varav en okänd. Lösningsgången är alltid densamma: namnge sidorna utifrån vinkeln, välj den funktion som innehåller den kända och den okända sidan, ställ upp ekvationen och lös ut. En annan typ är textuppgifter om höjder, stegar, ramper och skuggor, där du först själv måste rita den rätvinkliga triangeln. Höjdproblem med vinklar har en egen höjdmätningskalkylator.

I svårare uppgifter är två rätvinkliga trianglar ihopsatta, till exempel när en höjd delar en likbent triangel. Då räknar du ut en gemensam sida i den ena triangeln och använder den i den andra. Om triangeln inte har någon rät vinkel alls behövs sinus- eller cosinussatsen, som finns i triangellösaren. Ska du gå baklänges från ett känt sidförhållande till vinkeln används invers trigonometri.

Tillämpningar i bygg och vardag

Rätvinkliga trianglar finns i nästan allt som byggs. Hantverkare kontrollerar räta hörn med 3-4-5-metoden: mät 3 m längs ena väggen, 4 m längs den andra, och diagonalen ska bli exakt 5 m. Taklutningar, rampers lutning och trappors stigning är alla förhållanden mellan kateter, och det är samma sak som lutning i procent eller grader. En ramp med lutningen 1:12 har vinkeln ${\tan }^{-1}\left(\frac{1}{12}\right)\approx \mathrm{4,8}°$.

Så gör du på räknaren

• Kontrollera att räknaren står i gradläge. Många räknare visar D eller DEG i displayen, andra visar läget i inställningsmenyn.
• Sida ur vinkel: 4,2 × sin(70) = ger höjden i stegexemplet.
• Vinkel ur sidor: SHIFT tan (3 ÷ 4) = ger 36,87°. Glöm inte parentesen runt kvoten.
• Pythagoras: √(3² + 4²) =. På de flesta räknare skrivs kvadraten med x².

Fler kalkylatorer för vinklar och trianglar finns bland kalkylatorerna för trigonometri och på matematiksidan.