Vad är Pythagoras sats?
Pythagoras sats säger att i en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraterna på de två kateterna. Som formel skrivs det a² + b² = c², där a och b är kateterna och c är hypotenusan — den längsta sidan, som alltid ligger mitt emot den räta vinkeln.
Satsen är uppkallad efter den grekiske matematikern Pythagoras som levde på 500-talet f.Kr., men sambandet var känt långt tidigare. Babyloniska lertavlor från omkring 1800 f.Kr. visar att man redan då använde exakt samma samband för att räkna ut sidor i rätvinkliga trianglar.
Det som gör satsen så användbar är att den fungerar åt båda hållen: känner du två av triangelns tre sidor kan du alltid räkna ut den tredje. Den fungerar dock bara i rätvinkliga trianglar — för sneda trianglar behövs andra metoder som cosinussatsen.
Så använder du kalkylatorn
Börja med att välja vad du vill räkna ut. Vet du båda kateterna och söker hypotenusan väljer du det första läget. Vet du i stället hypotenusan och en av kateterna, och söker den andra kateten, väljer du det andra läget.
Ange sedan de två sidor du känner till. Kalkylatorn räknar direkt ut den tredje sidan och visar hela uträkningen steg för steg, precis som du skulle skriva den i ett prov. Du får dessutom triangelns alla tre sidor, dess area och dess omkrets som bonus.
Enheten spelar ingen roll så länge du använder samma enhet på alla sidor. Anger du kateterna i centimeter får du hypotenusan i centimeter, anger du meter får du meter.
Formeln bakom kalkylatorn
Formel
För att räkna ut hypotenusan c när du känner kateterna a och b:
- c = √(a² + b²)
För att räkna ut en katet a när du känner hypotenusan c och den andra kateten b:
- a = √(c² − b²)
Lägg märke till att ordningen spelar roll i den andra formeln: det är alltid hypotenusan i kvadrat minus kateten i kvadrat, aldrig tvärtom. Hypotenusan är per definition triangelns längsta sida, så c² − b² är alltid positivt i en riktig triangel. Att kvadrera ett tal betyder att multiplicera det med sig självt — vill du fördjupa dig i potenser kan du använda vår potenskalkylator.
Räkneexempel
Anta att en rätvinklig triangel har kateterna 6 cm och 8 cm. Hypotenusan blir då c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
Omvänt: en triangel har hypotenusan 13 cm och den ena kateten 5 cm. Den andra kateten blir a = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm.
Sista steget i båda exemplen är att dra kvadratroten ur ett tal. Blir det inte ett jämnt tal, som √20, kan du räkna ut roten med vår rotkalkylator — eller låta den här kalkylatorn göra hela jobbet.
Pythagoras sats i praktiken
Satsen är en av de mest använda matematiska formlerna utanför klassrummet, framför allt inom bygg och hantverk. Ska du kontrollera att ett hörn är exakt 90 grader använder du 3-4-5-metoden: mät ut 3 enheter längs den ena sidan och 4 enheter längs den andra. Är diagonalen mellan punkterna exakt 5 enheter är vinkeln rät. Metoden är standard vid utsättning av allt från trallgolv till husgrunder.
Diagonalmätning bygger på samma princip. En regelvägg som är 2,4 meter hög och 3,6 meter lång ska ha en diagonal på √(2,4² + 3,6²) ≈ 4,33 meter — stämmer måttet är väggen i vinkel. Samma kontroll används när du sätter kakel eller bygger en regelstomme.
Även TV-storlekar handlar om Pythagoras. En 65-tummare mäts diagonalt, och vill du veta hur bred skärmen faktiskt är räknar du baklänges med satsen utifrån bildformatet 16:9.
Varför stämmer Pythagoras sats?
Det finns fler kända bevis för Pythagoras sats än för någon annan matematisk sats — över 370 stycken har publicerats genom historien, däribland ett av den amerikanske presidenten James Garfield. Det vanligaste skolboksbeviset bygger på areor och går att förstå helt utan avancerad matematik.
Tänk dig en stor kvadrat med sidan a + b. Inuti den placerar du fyra identiska kopior av din rätvinkliga triangel, vridna så att deras hypotenusor bildar en mindre, sned kvadrat i mitten. Den stora kvadratens area kan nu skrivas på två sätt: dels som (a + b)², dels som de fyra trianglarnas sammanlagda area plus den inre kvadratens area, alltså 4 · (ab/2) + c².
Sätter du de två uttrycken lika och förenklar försvinner alla blandtermer: a² + 2ab + b² = 2ab + c², vilket ger a² + b² = c². Sambandet är alltså ingen tumregel utan en logisk konsekvens av hur areor fungerar — det gäller exakt, för alla rätvinkliga trianglar, oavsett storlek.
Avståndsformeln — Pythagoras i koordinatsystemet
Vill du veta avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem, säg (1, 2) och (4, 6), ritar du i praktiken en rätvinklig triangel. Den vågräta kateten är skillnaden i x-led, 4 − 1 = 3, och den lodräta kateten är skillnaden i y-led, 6 − 2 = 4. Avståndet är hypotenusan: √(3² + 4²) = 5.
Det är precis så avståndsformeln d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) är uppbyggd — den är Pythagoras sats omskriven för koordinater. Formeln dyker upp i Matematik 2 och ligger till grund för stora delar av den analytiska geometrin, från cirklars ekvationer till vektorlängder.
Pythagoras sats i tre dimensioner
Satsen låter sig dessutom utvidgas till tre dimensioner. Rymddiagonalen i ett rätblock — till exempel den längsta pinne som får plats i en flyttkartong — beräknas som d = √(l² + b² + h²), där l, b och h är kartongens längd, bredd och höjd.
Härledningen är två Pythagoras-beräkningar i följd: först räknar du ut bottendiagonalen med l och b, sedan använder du bottendiagonalen och höjden som kateter i en ny rätvinklig triangel. En kartong som mäter 60 × 40 × 30 cm rymmer alltså som mest en pinne på √(3600 + 1600 + 900) = √6100 ≈ 78 cm.
Samma resonemang används när du kontrollmäter om en lång list, ett rör eller en skiva går att få in genom en dörröppning eller upp för en trappa — ett av de vanligaste praktiska problemen där tredimensionell diagonalräkning avgör svaret innan du ens lyft materialet.
Pythagoreiska tripplar
En pythagoreisk trippel är tre heltal som uppfyller a² + b² = c². Den mest kända är 3-4-5, men det finns oändligt många. Multiplar av en trippel är alltid också tripplar: 6-8-10 och 9-12-15 är bara 3-4-5 i större skala.
- 3, 4, 5 — den klassiska trippeln som används i 3-4-5-metoden
- 5, 12, 13 — nästa primitiva trippel
- 8, 15, 17 — vanlig i läroböcker och prov
- 7, 24, 25 — mindre känd men lika giltig
- 20, 21, 29 — nästan likbent, ovanligt jämn fördelning
Kalkylatorn känner igen när dina värden bildar en trippel och berättar det i resultatet. I prov och läroböcker återkommer tripplarna ofta, eftersom uppgifterna då går jämnt ut utan decimaler.
Pythagoras sats i skolan — vilken kurs?
Pythagoras sats introduceras i årskurs 8–9 i grundskolan och är ett centralt innehåll i geometriavsnittet inför de nationella proven i årskurs 9. Där handlar uppgifterna oftast om att räkna ut hypotenusan eller en katet med hela tal, gärna med pythagoreiska tripplar.
På gymnasiet återkommer satsen i Matematik 1 (1a, 1b och 1c) och fördjupas i Matematik 2, där den kombineras med koordinatgeometri. Avståndsformeln mellan två punkter i ett koordinatsystem är i själva verket Pythagoras sats i förklädnad — något du kan utforska vidare i vår kalkylator för räta linjens ekvation. I Matematik 3 och 4 dyker satsen upp igen som grund för trigonometriska samband.
Behöver du lösa uppgifter där sidorna är uttryckta med variabler, till exempel x² + (x+2)² = 10², leder Pythagoras sats till en andragradsekvation. Då är vår andragradsekvationskalkylator ett bra nästa steg.
Så gör du på räknaren
Ska du räkna ut hypotenusan för kateterna 6 och 8 på en Casio FX-räknare (t.ex. FX-82) trycker du: √ ( 6 x² + 8 x² ) och sedan =. Knappen x² kvadrerar talet direkt, och rotknappen ligger oftast ovanför kvadratknappen. Svaret blir 10.
På en TI-räknare (t.ex. TI-30 eller TI-84) är principen densamma: 2nd + x² ger rotfunktionen, därefter skriver du ( 6 ^ 2 + 8 ^ 2 ) och trycker ENTER. Kontrollera att parenteserna omsluter hela summan — annars drar räknaren roten ur enbart det första talet.
På mobilens kalkylator vänder du telefonen till liggande läge för att få fram de vetenskapliga funktionerna. Skriv 6, tryck x², tryck +, skriv 8, tryck x², tryck = och därefter √x. Räknar du ut en katet byter du + mot − och skriver hypotenusan först.
Vanliga misstag
- Att blanda ihop katet och hypotenusa — hypotenusan är alltid den längsta sidan och ligger mitt emot den räta vinkeln
- Att addera kvadraterna när man söker en katet — där ska det vara subtraktion: c² − b²
- Att glömma kvadratroten i sista steget och svara med c² i stället för c
- Att använda satsen på trianglar som inte är rätvinkliga — då gäller den inte
- Att blanda enheter, till exempel meter på ena sidan och centimeter på den andra
Kalkylatorn varnar automatiskt om du anger en hypotenusa som är kortare än kateten — det är ett säkert tecken på att värdena hamnat i fel fält. Vill du räkna vidare på triangelns yta i kvadratmeter finns vår kvadratmeterkalkylator, och fler geometriverktyg hittar du bland våra geometrikalkylatorer.