Triangelkalkylator

Triangelns area: bas gånger höjd genom två

Den vanligaste formeln för en triangels area är $A=\frac{b·h}{2}$. Basen $b$ är den sida du utgår från, och höjden $h$ är det vinkelräta avståndet från basen upp till det motstående hörnet. Höjden är alltså inte en av de sneda sidorna, utan en linje som står rakt upp från basen. Vilken sida som helst kan vara bas, så länge höjden mäts mot just den sidan.

Formeln är lätt att förstå. Rita en rektangel runt triangeln med samma bas och höjd. Triangeln täcker exakt halva rektangeln, eftersom de två bitarna utanför triangeln tillsammans är lika stora som triangeln själv. Rektangelns area är $b·h$, och triangelns är hälften.

Exempel: bas 8 cm och höjd 5 cm

En triangel med basen 8 cm och höjden 5 cm har arean $\frac{8·5}{2}=20$ cm². Det spelar ingen roll om toppen sitter rakt över mitten eller långt åt sidan, arean blir densamma så länge höjden är 5 cm. Däremot går omkretsen inte att räkna ut ur bas och höjd, eftersom de sneda sidorna blir olika långa beroende på var toppen sitter. Därför visar kalkylatorn ett streck för omkretsen i det läget.

Tre kända sidor: Herons formel

Har du mätt alla tre sidor men inte höjden använder du Herons formel. Räkna först ut halva omkretsen, $s=\frac{a+b+c}{2}$, och sätt in den:

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

För en triangel med sidorna 5, 6 och 7 cm blir $s=9$ och arean $\sqrt{9·4·3·2}\approx \mathrm{14,7}$ cm². Omkretsen är 18 cm, höjden mot sidan 7 blir 4,2 cm och vinklarna blir A 44,42°, B 57,12°, C 78,46°. Den klassiska 3-4-5-triangeln, med sidorna i centimeter, ger arean 6 cm² och är rätvinklig, vilket kan kontrolleras med Pythagoras sats: $3^2+4^2=5^2$.

Två sidor och vinkeln mellan dem

Vet du två sidor och vinkeln där de möts används areasatsen: $A=\frac{a·b·\sin C}{2}$. Sidorna 5 och 6 cm med vinkeln 60° ger arean 12,99 cm². Formeln är egentligen bas gånger höjd genom två, där höjden räknas ut med sinus. Den tredje sidan ger cosinussatsen, och kalkylatorn visar den tillsammans med omkretsen.

Olika sorters trianglar

• Liksidig: alla tre sidor lika långa och alla vinklar 60°.
• Likbent: två sidor lika långa, och vinklarna vid basen är lika stora.
• Rätvinklig: en vinkel är 90°. Kateterna är bas och höjd till varandra, så arean är halva produkten av dem.
• Spetsvinklig: alla vinklar under 90°.
• Trubbvinklig: en vinkel över 90°. Höjden kan då hamna utanför triangeln, på förlängningen av basen.

Vinkelsumman är alltid 180°, oavsett form, vilket vinkelsummakalkylatorn visar för alla månghörningar. En triangel med sidorna 3, 4 och 6 är trubbvinklig. Väljer du en av de korta sidorna som bas hamnar höjden utanför triangeln, på basens förlängning, och figuren visar då den förlängda basen streckad.

Snabbformler för liksidiga och likbenta trianglar

I en liksidig triangel med sidan $a$ delar höjden basen mitt itu. Pythagoras sats ger då höjden $h=\frac{\sqrt{3}}{2}·a$, och arean blir $A=\frac{\sqrt{3}}{4}·a^2$, ungefär $\mathrm{0,433}·a^2$. En liksidig triangel med sidan 4 cm har därför arean 6,93 cm² och höjden 3,46 cm. Samma knep fungerar för en likbent triangel: höjden mot basen delar basen i två lika delar. Sidorna 5, 5 och 6 cm ger höjden $\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm och arean 12 cm².

Räkna baklänges: höjden eller basen ur arean

Vet du arean och ett av måtten kan du lösa ut det andra. Höjden blir $h=\frac{2\mathrm{A}}{b}$ och basen $b=\frac{2\mathrm{A}}{h}$. En triangel med arean 20 cm² och basen 8 cm har höjden $\frac{2·20}{8}=5$ cm. Kalkylatorn visar alltid höjden mot basen, även när du har skrivit in tre sidor, eftersom höjden räknas ut på just det sättet ur arean.

Vanliga fel

• Att glömma att dela med 2. Bas gånger höjd ger rektangelns area, inte triangelns.
• Att använda en sned sida som höjd. Höjden måste stå vinkelrätt mot basen.
• Att mäta höjden mot fel sida. Bas och höjd måste höra ihop.
• Att skriva in tre sidor som inte bildar en triangel. Den längsta sidan måste vara kortare än de två andra tillsammans, annars visar kalkylatorn ett felmeddelande.
• Att blanda enheter, till exempel bas i meter och höjd i centimeter.

Typiska provuppgifter

Den vanligaste uppgiften ger bas och höjd i en figur. Leta upp den sträcka som är markerad med en rät vinkel mot basen, det är höjden. En annan typ ger arean och basen och frågar efter höjden, då löser man ut $h=\frac{2\mathrm{A}}{b}$. I sammansatta figurer, till exempel ett hus med ett trekantigt tak, delar man upp figuren i rektanglar och trianglar och lägger ihop areorna. I rätvinkliga trianglar kan en saknad sida behöva räknas ut med Pythagoras sats innan arean går att räkna ut.

Trianglar i vardagen

Inom bygg behövs triangelns area för gavlar, takfall och snedtak. En gavel som är 6 m bred och 2,5 m hög upp till nocken har en triangulär yta på 7,5 m² ovanför väggens raka del, vilket påverkar hur mycket panel eller färg som går åt. I trädgården är tomter och rabatter ofta oregelbundna. Dela då ytan i trianglar, mät de tre sidorna på varje och räkna ut arean med Herons formel. En trekantig tomtbit med sidorna 12, 15 och 20 m har arean 89,67 m². Vid sömnad används trianglar för kilar och flaggor, där arean ger tygåtgången och omkretsen längden på kantbandet.

Så gör du på räknaren

• Bas och höjd: 8 × 5 ÷ 2 =.
• Herons formel: räkna först s, sedan √(s × (s − a) × (s − b) × (s − c)). Skriv hela uttrycket under roten inom parentes.
• Areasatsen: 5 × 6 × sin(60) ÷ 2 =. Kontrollera att räknaren står i grader.

Behöver du lösa hela triangeln?

Den här kalkylatorn är gjord för area och omkrets. Ska du räkna ut alla sidor och vinklar ur vilka tre mått som helst, även två vinklar och en sida, använder du triangellösaren. För rätvinkliga trianglar med sinus, cosinus och tangens finns kalkylatorn för rätvinkliga trianglar, och sinussatsen kopplar ihop sidor och motstående vinklar. Areor för andra former finns i areakalkylatorn. Alla kalkylatorer för plana figurer finns bland geometrikalkylatorerna och på matematiksidan.