Ellips – area och omkrets

Ellipsens area

En ellips är en utdragen cirkel. Den har två symmetriaxlar: storaxeln, som är det längsta måttet tvärs över, och lillaxeln, som är det kortaste. Halva storaxeln kallas $a$ och halva lillaxeln $b$. Arean är:

$A=\pi ·a·b$

Formeln är en direkt utvidgning av cirkelns $\pi r^2$. En ellips är en cirkel som har sträckts med faktorn $a/r$ åt ena hållet och $b/r$ åt det andra, och arean sträcks på samma sätt. Är $a=b$ blir ellipsen en cirkel och formeln blir $\pi r^2$.

Omkretsen saknar enkel formel

Det kan verka konstigt, men det finns ingen exakt enkel formel för ellipsens omkrets. Den exakta omkretsen kräver en så kallad elliptisk integral. I praktiken används approximationer, och den indiske matematikern Ramanujans formel från 1914 är så noggrann att felet är försumbart för alla vanliga ellipser:

$O\approx \pi (a+b)(1+\frac{3\mathrm{h}}{10+\sqrt{4-3\mathrm{h}}})$, där $h=\frac{(a-b{)}^2}{(a+b{)}^2}$

För en ellips med halvaxlarna 5 och 3 ger formeln 25,53. Det exakta värdet är 25,527, så skillnaden syns inte ens med fem siffror. Den enklare approximationen $\pi (a+b)$ ger 25,13 och är alltså ungefär 1,5 procent för låg.

Exempel: ovalt matbord

Ett ovalt bord är 120 cm långt och 80 cm brett. Halvaxlarna blir 60 och 40 cm. Bordsytan är $\pi ·60·40$ ≈ 7 539,82 cm², vilket är 0,75 m². Omkretsen, om du ska sätta en kantlist eller beräkna hur många som får plats runt bordet, blir 317,31 cm. Ett rektangulärt bord med samma mått har arean 9 600 cm², så det ovala bordet har ungefär 21 procent mindre yta.

Samma uträkning fungerar för en oval rabatt. En rabatt som är 4 meter lång och 2,5 meter bred har ytan 7,85 m². Den ytan kan du använda för att räkna ut jord med jordberäkningen eller täckbark med barkkalkylatorn. För en oval pool gäller samma area gånger djupet, vilket poolvolymkalkylatorn räknar ut.

Excentricitet och brännpunkter

Excentriciteten $e$ beskriver hur utdragen ellipsen är. Den ligger mellan 0, som är en cirkel, och nära 1, som är mycket platt. Den räknas ut som $e=\sqrt{1-b^2/a^2}$. Ellipsen har två brännpunkter på storaxeln, på avståndet $\sqrt{a^2-b^2}$ från mitten. Summan av avstånden från en punkt på ellipsen till de två brännpunkterna är alltid $2a$. Det är så man ritar en ellips med ett snöre och två spikar.

Ellipsen i skolan

Ellipsen är sällan ett eget moment i grundskolans matematik, men arean dyker upp som fördjupning eftersom den bygger direkt på cirkeln. I fysiken är ellipsen viktig: planeterna rör sig i ellipsbanor med solen i ena brännpunkten, enligt Keplers första lag. Ellipsens ekvation behandlas i högre matematikkurser och på högskolan.

Så gör du på räknaren

• Arean: π × 60 × 40 =. På Casio fx-82 nås π med SHIFT ×10ˣ, på TI-30 med 2nd ^.
• Snabb uppskattning av omkretsen: π × (60 + 40). För måttligt utdragna ellipser, som ett bord, blir den cirka 1–2 procent för låg. För mycket platta ellipser blir felet betydligt större.
• Använd hellre kalkylatorn för omkretsen, eftersom Ramanujans formel blir lång att knappa in.

Andra rundade former hittar du i cirkelsektorkalkylatorn och klotkalkylatorn. Alla figurer finns bland geometrikalkylatorerna och på matematiksidan.