Konfidensintervall

Vad är ett konfidensintervall?

När man undersöker ett urval i stället för hela populationen blir resultatet en skattning. Fråga 1 000 personer om ett parti och svaret blir kanske 52 %, men en annan grupp om 1 000 personer hade gett ett något annat svar. Konfidensintervallet anger ett spann runt skattningen som, med en vald säkerhet, fångar det sanna värdet i hela populationen.

Halva intervallets bredd kallas felmarginal. Med 52 % och 1 000 svar blir 95 % konfidensintervall 48,9 – 55,1 %, alltså en felmarginal på ± 3,1 procentenheter. Det är den siffran som står i det finstilta under opinionsmätningar, och den gäller andelar mätta i procent. Skillnaden mellan två procenttal anges i procentenheter, som procentenhetskalkylatorn förklarar.

Hur ska intervallet tolkas?

Konfidensnivån, oftast 95 %, beskriver metoden och inte det enskilda intervallet. Om man upprepade undersökningen väldigt många gånger och räknade ut ett intervall varje gång, skulle ungefär 95 % av intervallen innehålla det sanna värdet. Det enskilda intervallet du har räknat ut innehåller antingen det sanna värdet eller inte.

Därför är det felaktigt att säga att det är 95 % sannolikhet att det sanna värdet ligger i just ditt intervall, även om det är en vanlig förenkling. Det säkra sättet att formulera sig är att man är 95 % säker på metoden.

Formeln för en andel

För en andel $p$ med $n$ svar är medelfelet $\mathrm{SE}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Felmarginalen är $E=z·\mathrm{SE}$, där $z$ hämtas ur normalfördelningen: 1,645 för 90 %, 1,960 för 95 % och 2,576 för 99 %. Intervallet blir $p\pm E$.

Ett räknat exempel: $p=\mathrm{0,52}$ och $n=\mathrm{1 000}$ ger $\mathrm{SE}=\sqrt{\mathrm{0,52}·\mathrm{0,48}/\mathrm{1 000}}\approx \mathrm{0,0158}$. Gånger 1,960 blir felmarginalen cirka 0,031, alltså ± 3,1 procentenheter. Med 99 % konfidensnivå växer intervallet till 47,9 – 56,1 %, och med 90 % krymper det till 49,4 – 54,6 %. Högre säkerhet kostar alltid ett bredare intervall.

Fler svar ger smalare intervall, men långsamt

Eftersom $n$ står under ett rottecken måste antalet svar fyrdubblas för att halvera felmarginalen. Med 4 000 svar i stället för 1 000 blir felmarginalen ± 1,5 procentenheter. Vill du räkna baklänges, från önskad felmarginal till antal svar, använd urvalsstorlekskalkylatorn.

Små urval och andelar nära 0 eller 100 %

Formeln ovan bygger på att andelens fördelning liknar en normalfördelning. Tumregeln är att både $n·p$ och $n·(1-p)$ ska vara minst 10. Är de inte det kan intervallet till och med gå under 0 %. Kalkylatorn använder då Wilsons intervall i stället, som håller sig inom 0–100 % och fungerar bättre för små urval. Med 5 % av 40 svar blir det 1,4 – 16,5 %, och intervallet är inte symmetriskt kring 5 %. Bakgrunden är binomialfördelningen, som beskriver antalet ja-svar exakt.

Konfidensintervall för ett medelvärde

För mätvärden, till exempel längder eller vikter, är intervallet $m\pm t·\frac{s}{\sqrt{n}}$. Här är $m$ medelvärdet, $s$ stickprovets standardavvikelse och $t$ ett värde ur t-fördelningen med $n-1$ frihetsgrader. T-fördelningen används eftersom populationens standardavvikelse är okänd och skattas ur samma data. Den har tyngre svansar än normalfördelningen, vilket ger lite bredare intervall vid små urval.

Exempel: 25 personer har medellängden 172 cm och standardavvikelsen 8 cm. Medelfelet blir $8/\sqrt{25}=\mathrm{1,6}$ och t-värdet för 24 frihetsgrader är cirka 2,064, så intervallet blir 168,7 – 175,3 cm. Med åtta mätvärden direkt i kalkylatorn, 12; 15; 11; 14; 13; 16; 12; 15, blir medelvärdet 13,5 och intervallet 12,0 – 15,0.

Standardavvikelsen kan du räkna fram separat i standardavvikelsekalkylatorn, och själva medelvärdet i medelvärdeskalkylatorn. Med färre än cirka 30 mätningar förutsätter metoden att mätvärdena kommer från en ungefär normalfördelad population.

Opinionsmätningar och felmarginal

När två partier ligger på 24 och 22 % i samma mätning med 1 000 svar är felmarginalen för vart och ett cirka 2,6 procentenheter. Intervallen överlappar, men det betyder inte automatiskt att skillnaden saknar betydelse. Två partier i samma mätning hänger ihop, eftersom en väljare som går till det ena partiet lämnar det andra. Skillnaden mellan dem har därför en egen felmarginal, som är större än partiernas var för sig, och den kan inte räknas med test för två oberoende grupper.

Felmarginalen säger bara något om slumpen i urvalet. Den fångar inte fel som uppstår när vissa grupper svarar mer sällan, när frågan är ledande eller när urvalet inte är slumpmässigt. Hur röster sedan blir mandat i riksdagen visar mandatfördelningskalkylatorn.

Vanliga fel

• Att tolka 95 % som sannolikheten att det sanna värdet ligger i just detta intervall. Nivån gäller metoden.
• Att ange felmarginalen i procent i stället för procentenheter. 52 % ± 3 procentenheter är 49–55 %, inte 52 % ± 3 % av 52.
• Att använda formeln för andelar på ett litet urval eller på andelar nära 0 eller 100 %.
• Att använda z i stället för t för ett medelvärde när standardavvikelsen skattas ur ett litet stickprov.
• Att tro att felmarginalen täcker skevt urval eller bortfall. Den gäller bara slumpmässig variation.

Fler statistikverktyg

Om skillnaden mellan två grupper är statistiskt säkerställd avgör signifikanstestet. Alla verktyg för lägesmått, spridning och test finns bland statistikkalkylatorerna, och övriga områden på matematiksidan.