Standardavvikelse

Vad är standardavvikelse?

Standardavvikelsen är ett mått på spridning. Den säger ungefär hur långt värdena typiskt ligger från medelvärdet. Två klasser kan ha samma medelpoäng på ett prov men helt olika spridning: i den ena ligger alla nära snittet, i den andra finns både mycket höga och mycket låga resultat. Medelvärdet ser likadant ut, men standardavvikelsen avslöjar skillnaden.

Ett exempel: värdena 19, 20, 21, 20 och 20 har medelvärdet 20 och standardavvikelsen ungefär 0,7071. Värdena 12, 28, 20, 15 och 25 har också medelvärdet 20, men standardavvikelsen är ungefär 6,671. Ju större standardavvikelse, desto mer sprids värdena.

Formeln för standardavvikelse

För ett stickprov räknas standardavvikelsen så här:

$s=\sqrt{\frac{\Sigma (x-m{)}^2}{n-1}}$

Här är $x$ varje värde, $m$ medelvärdet (skrivs ofta x̄) och $n$ antalet värden. Uträkningen görs i fyra steg:

1. Räkna ut medelvärdet.
2. Dra medelvärdet från varje värde. Det ger avvikelserna.
3. Kvadrera avvikelserna och lägg ihop dem. Summan kallas kvadratsumman.
4. Dela med $n-1$ och dra roten ur. Talet före roten är variansen.

Med kalkylatorns förval 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 och 9 blir medelvärdet 5. Kvadratsumman är 32, och 32 / 7 ≈ 4,571. Roten ur det är ungefär 2,138. Avvikelserna kvadreras för att negativa och positiva inte ska ta ut varandra. Roten på slutet gör att svaret får samma enhet som värdena, till exempel cm eller poäng. Att dra roten ur ett tal kan du öva på med rotkalkylatorn.

Stickprov eller population: n − 1 eller n?

Det finns två varianter av formeln, och det är den vanligaste källan till olika svar:

• Stickprov (s): värdena är ett urval ur en större grupp, till exempel 30 elever av alla elever i landet. Dela med n − 1. Det är standardvalet i kalkylatorn och det vanliga i statistik.
• Population (σ, sigma): värdena är hela gruppen du är intresserad av, till exempel alla elever i just din klass när du bara vill beskriva klassen. Dela med n.

För förvalet ger stickprovsformeln ungefär 2,138 och populationsformeln 2. Skillnaden blir mindre ju fler värden du har. Att dela med n − 1 kompenserar för att ett stickprov oftast har något mindre spridning än hela gruppen det kommer från. Kalkylatorn visar alltid svaret med den andra formeln också, så att du kan jämföra med facit.

Räkna standardavvikelse för hand

Ta värdena 18, 20 och 22. Medelvärdet är 20. Avvikelserna är −2, 0 och 2, och kvadraterna 4, 0 och 4. Kvadratsumman blir 8. Som stickprov delar du med 3 − 1 = 2 och får variansen 4. Standardavvikelsen är $\sqrt{4}=2$. Värdena 10, 20 och 30 har samma medelvärde men tio gånger större avvikelser, och standardavvikelsen blir 10.

Det sista exemplet visar en användbar regel: multiplicerar du alla värden med ett tal, multipliceras standardavvikelsen med samma tal. Lägger du i stället till ett tal till alla värden ändras medelvärdet men inte standardavvikelsen, eftersom spridningen är densamma.

Hur ska man tolka svaret?

Standardavvikelsen är en slags typisk avvikelse. Om värdena är ungefär normalfördelade, alltså samlade kring medelvärdet i en symmetrisk klockform, gäller tumregeln:

• Ungefär 68 % av värdena ligger inom en standardavvikelse från medelvärdet.
• Ungefär 95 % ligger inom två standardavvikelser.
• Nästan alla, ungefär 99,7 %, ligger inom tre standardavvikelser.

Hur många standardavvikelser ett enskilt värde ligger från medelvärdet kallas z-värde, och det räknar du med z-värdeskalkylatorn. När standardavvikelsen används för att ange hur säkert ett medelvärde är kommer konfidensintervall in.

Var används standardavvikelse?

Standardavvikelse dyker upp långt utanför matteboken. I tillverkning mäts hur mycket en detalj varierar i storlek, och en liten standardavvikelse betyder jämn kvalitet. I väderstatistik visar den hur mycket temperaturen brukar svänga kring månadens normalvärde. Vid sparande används den som ett mått på hur mycket värdet på en fond går upp och ner. Och i undersökningar behövs den för att räkna ut hur många som måste tillfrågas, vilket urvalsstorlekskalkylatorn visar.

Gemensamt är att medelvärdet ensamt inte räcker. Två fonder kan ha samma genomsnittliga avkastning men helt olika svängningar, och två maskiner kan tillverka skruvar med samma snittlängd men olika precision. Standardavvikelsen fångar just den skillnaden.

Vanliga fel

• Att välja fel formel. Står det "stickprov" eller "urval" i uppgiften ska du dela med n − 1.
• Att glömma att kvadrera avvikelserna. Summan av avvikelserna utan kvadrat blir alltid 0.
• Att glömma roten på slutet. Utan roten har du räknat ut variansen.
• Att avrunda medelvärdet för tidigt. Räkna med alla decimaler och avrunda svaret sist, som avrundningskalkylatorn visar.

Standardavvikelse och andra spridningsmått

Standardavvikelsen använder alla värden och är därför känslig för enstaka extremvärden. Variationsbredden är enklare, bara största minus minsta värde, men säger inget om hur värdena däremellan ligger. Kvartilavståndet beskriver den mittersta hälften och påverkas inte av extremvärden. För att få en överblick över hur ofta olika värden förekommer passar en frekvenstabell.

Så gör du på räknaren

1. Mata in värdena i en lista i räknarens statistikläge.
2. Välj envariabelstatistik. Räknaren visar då både medelvärdet och två standardavvikelser.
3. Den som oftast heter s eller sx är stickprovets standardavvikelse. Den som heter σ eller σx är populationens.
4. Kontrollera vilken uppgiften frågar efter, och jämför med kalkylatorns två svar.

I Excel heter funktionerna STDAV.S för stickprov och STDAV.P för population. Fler verktyg för lägesmått och spridning finns bland statistikkalkylatorerna och på matematiksidan.