Vad är kvartiler?
Kvartilerna delar in sorterade värden i fyra lika stora delar. Ungefär en fjärdedel av värdena ligger under nedre kvartilen Q1, hälften under medianen Q2 och tre fjärdedelar under övre kvartilen Q3. Kvartilerna beskriver alltså både läge och spridning utan att påverkas av enstaka extremvärden.
Kvartilavståndet är Q3 − Q1. Det är bredden på den mittersta hälften av värdena och ett vanligt spridningsmått i lådagram.
Skolmetoden steg för steg
- Sortera värdena från minst till störst.
- Hitta medianen. Vid udda antal är det värdet i mitten, vid jämnt antal medelvärdet av de två mittersta.
- Dela upp värdena i en nedre och en övre halva. Vid udda antal räknas medianen inte med i någon halva.
- Nedre kvartilen är medianen av nedre halvan, övre kvartilen är medianen av övre halvan.
Med förvalet 3, 7, 8, 5, 12, 14, 21, 13 och 18 blir sorteringen 3, 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21. Medianen är 12. Nedre halvan är 3, 5, 7, 8 med medianen 6, och övre halvan 13, 14, 18, 21 med medianen 16. Kvartilavståndet blir 16 − 6 = 10.
Varför får jag olika svar i olika program?
Det finns ingen enda definition av kvartiler, och det är den vanligaste orsaken till att svaret inte stämmer med facit. Kalkylatorn visar fyra vanliga metoder i tabellen:
- Skolmetoden: medianen av nedre och övre halvan, där medianen inte räknas med vid udda antal. Det är kalkylatorns standardval.
- Skolmetoden med medianen: andra läromedel tar med medianen i båda halvorna vid udda antal. Svenska läromedel gör olika, så tabellen visar båda varianterna.
- Excel KVARTIL.INK: värdet på position (n − 1) · p + 1, med interpolering mellan två värden. Samma som KVARTIL i äldre Excel.
- Excel KVARTIL.EXK: värdet på position (n + 1) · p, också med interpolering.
För förvalet ger skolmetoden Q1 = 6 och Q3 = 16, medan Excel INK ger Q1 = 7 och Q3 = 14. Med värdena 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 och 9 blir Q1 och Q3 med skolmetoden 4 och 6; med Excel INK 4 och 5,5; med Excel EXK 4 och 6,5. Skillnaderna minskar ju fler värden du har. Följ alltid metoden i din lärobok eller uppgift, och välj samma i kalkylatorn.
Så läser du ett lådagram
Ett lådagram sammanfattar en dataserie med fem tal: minsta värde, Q1, median, Q3 och största värde. Lådan sträcker sig från Q1 till Q3, och strecket i lådan är medianen. Morrhåren, strecken utanför lådan, går ut till minsta och största värdet.
- En smal låda betyder att den mittersta hälften ligger tätt.
- Ligger medianen nära ena kanten av lådan är fördelningen sned.
- Ett långt morrhår visar att det finns värden långt från resten. Variationsbredden är hela avståndet mellan morrhårens ändar.
Lådagram är särskilt bra för att jämföra grupper, till exempel provresultat i två klasser, eftersom man ser läge och spridning på en gång.
Kvartiler, percentiler och medelvärde
Kvartiler är specialfall av percentiler: Q1 är den 25:e percentilen, medianen den 50:e och Q3 den 75:e. Vill du ha andra gränser, till exempel den 90:e percentilen, använder du percentilkalkylatorn. Kvartilerna kompletterar medelvärdet och standardavvikelsen: de senare använder alla värden och påverkas av extremvärden, medan kvartilerna är robusta.
Kvartiler i vardagen
Kvartiler används ofta när man vill beskriva en fördelning utan att extremvärden stör. Lönestatistik redovisas till exempel ofta med median och kvartiler: halva gruppen tjänar mer än medianen, och den mittersta hälften ligger mellan nedre och övre kvartilen. En enda person med mycket hög lön påverkar medelvärdet men nästan inte kvartilerna. Samma sak gäller bostadspriser, svarstider och provresultat, där några få ovanliga värden annars kan ge en missvisande bild.
Vanliga fel
- Att glömma att sortera värdena innan du delar upp dem.
- Att ta med medianen i halvorna när läroboken inte gör det, eller tvärtom.
- Att räkna kvartilavstånd som Q3 + Q1 eller Q2 − Q1.
- Att blanda ihop kvartil med kvartal eller med fjärdedelar av procent. En kvartil är ett värde i datan, inte en andel.
Typiska uppgifter
"Bestäm kvartilavståndet för 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15 och 20." Medianen är (9 + 10) / 2 = 9,5. Nedre halvan 4, 6, 7, 9 ger Q1 = 6,5 och övre halvan 10, 12, 15, 20 ger Q3 = 13,5. Kvartilavståndet är 13,5 − 6,5 = 7.
"Rita ett lådagram för datan." Använd de fem talen minsta värde, Q1, median, Q3 och största värde, och rita på en tallinje. Har du många värden kan en frekvenstabell hjälpa till att sortera dem först.
En variant: "I en grupp är Q1 = 30 och kvartilavståndet 12. Vad är Q3?" Eftersom kvartilavståndet är Q3 − Q1 blir Q3 = 30 + 12 = 42.
Så gör du på räknaren
- Mata in värdena i en lista och välj envariabelstatistik.
- Leta upp Q1, Med och Q3 i resultatet.
- Jämför med kalkylatorns tabell. Räknare och program kan använda olika metoder, så kontrollera vilken din använder.
I Excel skriver du =KVARTIL.INK(A1:A10;1) för nedre kvartilen och 3 i stället för 1 för den övre. Fler verktyg finns bland statistikkalkylatorerna och på matematiksidan.