Z-score

Vad är ett z-värde?

Ett z-värde, på engelska z-score, säger hur många standardavvikelser ett värde ligger från medelvärdet. Ett z-värde på 0 betyder att värdet är exakt lika med medelvärdet. Positiva z-värden ligger över och negativa under. Formeln är:

$z=\frac{x-\mu }{\sigma }$

Här är $x$ värdet, $\mu$ medelvärdet och $\sigma$ standardavvikelsen. Att räkna om ett värde till ett z-värde kallas att standardisera. Det gör att man kan jämföra värden från helt olika skalor, till exempel ett provresultat och en löptid.

Exempel: värde till z och andel

Kalkylatorns förval är ett test där resultaten har medelvärdet 100 och standardavvikelsen 15. Resultatet 120 ger z = (120 − 100) / 15 ≈ 1,33. Om resultaten är normalfördelade har ungefär 90,88 % ett lägre resultat och 9,12 % ett högre. Det motsvarar ungefär den 91:a percentilen.

Resultatet 70 ger z = −2. Då ligger bara 2,28 % under. Ett z-värde på −2 eller lägre är alltså ovanligt, och det är därför gränsen ±2 ofta används för att peka ut avvikande värden.

Exempel: från andel till värde

Ibland vill man veta åt andra hållet: vilket resultat krävs för att vara bland de 10 % bästa? Då letar man upp det z-värde som har 90 % under sig, ungefär 1,28, och räknar om: 100 + 1,28 · 15 ≈ 119,22. På samma sätt ligger de 2,5 % lägsta under ungefär 70,6. Läs mer om percentiler i percentilkalkylatorn, som räknar direkt på dina data utan att anta normalfördelning.

Exempel: andel mellan två värden

Andelen mellan två värden är andelen under den övre gränsen minus andelen under den undre. För normalfördelningen finns en tumregel som är bra att kunna:

• Inom en standardavvikelse från medelvärdet ligger ungefär 68,27 %. Med förvalet är det mellan 85 och 115.
• Inom två standardavvikelser ligger ungefär 95,45 %, mellan 70 och 130.
• Inom tre standardavvikelser ligger ungefär 99,73 %, mellan 55 och 145.

Tumregeln kallas ibland 68–95–99,7-regeln. Den gör det lätt att snabbt bedöma hur ovanligt ett värde är.

Jämföra två resultat på olika skalor

Anta att du fick 34 poäng på ett prov där medelvärdet var 28 och standardavvikelsen 4, och sprang 5 km på 22 minuter i ett lopp där medeltiden var 26 minuter med standardavvikelsen 3. Vilket resultat var bäst i förhållande till de andra? Provet ger z = (34 − 28) / 4 = 1,5. Loppet ger z = (22 − 26) / 3 ≈ −1,33. På loppet är en lägre tid bättre, så där räknas avståndet åt andra hållet: 1,33 standardavvikelser bättre än snittet. Provresultatet var alltså lite starkare, 1,5 mot 1,33.

Vanliga z-värden

Andelen under några z-värden som ofta förekommer i uppgifter och tabeller:

• z = 0: 50 %
• z = 0,5: 69,15 %
• z = 1: 84,13 %
• z = 1,28: ungefär 90 %
• z = 1,645: ungefär 95 %
• z = 1,96: ungefär 97,5 %
• z = 2: 97,72 %
• z = 2,576: ungefär 99,5 %
• z = 3: 99,87 %

Normalfördelningen är symmetrisk. Andelen under −z är därför samma som andelen över z. Under z = −1 ligger 100 % − 84,13 % = 15,87 %.

Gäller bara normalfördelad data

Z-värdet i sig går att räkna för alla data. Men andelarna och percentilerna bygger på att datan är ungefär normalfördelad, alltså symmetrisk kring medelvärdet med en klockform. Många mätvärden är det, till exempel längder och mätfel. Inkomster, huspriser och väntetider är det ofta inte, eftersom de har en lång svans åt ena hållet. Gör gärna en frekvenstabell och titta på formen innan du drar slutsatser om andelar.

Var används z-värden?

• För att jämföra resultat från olika prov eller tester som har olika skalor.
• För att hitta avvikande värden, ofta de med z större än 2 eller 3.
• I konfidensintervall, där z ≈ 1,96 ger 95 % säkerhet.
• I signifikanstest, där z-värdet jämförs med en gräns.
• Som approximation av binomialfördelningen när antalet försök är stort.

Typiska uppgifter

"Längden hos vuxna kvinnor är ungefär normalfördelad med medelvärdet 166 cm och standardavvikelsen 7 cm. Hur stor andel är längre än 180 cm?" Lösningen är z = (180 − 166) / 7 = 2, och andelen över z = 2 är 100 % − 97,72 % ≈ 2,3 %. En annan vanlig typ frågar hur lång man måste vara för att tillhöra de 5 % längsta. Då behövs z ≈ 1,645, och längden blir 166 + 1,645 · 7 ≈ 177,5 cm. Talen i uppgifterna är påhittade exempel, men räknesättet är detsamma för alla normalfördelade mätvärden.

Vanliga fel

• Att dela med variansen i stället för med standardavvikelsen.
• Att glömma minustecknet. Ett värde under medelvärdet ger ett negativt z.
• Att blanda ihop andel under och andel över. Andel över är 100 % minus andel under.
• Att använda andelarna på data som inte är normalfördelad.

Så gör du med tabell eller räknare

1. Räkna ut z med formeln ovan.
2. Slå upp z i en tabell över standardnormalfördelningen, eller använd räknarens funktion för normalfördelning. Tabellen ger andelen under z.
3. Andelen över är 1 minus andelen under.
4. För andelen mellan två värden: slå upp båda och ta skillnaden.

Fler verktyg finns bland statistikkalkylatorerna och på matematiksidan.