Korrelation

Vad är korrelation?

Korrelation mäter hur starkt två variabler följs åt. Om höga värden på den ena ofta hör ihop med höga värden på den andra är korrelationen positiv. Om höga värden hör ihop med låga är den negativ. Måttet kallas korrelationskoefficient och skrivs $r$. Det ligger alltid mellan −1 och 1.

• $r=1$ betyder att alla punkter ligger exakt på en stigande rät linje.
• $r=-1$ betyder att alla punkter ligger exakt på en sjunkande rät linje.
• $r$ nära 0 betyder att det inte finns något linjärt samband.

Exemplet i kalkylatorn är studietimmar och provpoäng för åtta personer. Där blir r = 0,994, ett starkt positivt samband. Punkterna ligger nästan på en rät linje, vilket syns i spridningsdiagrammet.

Så räknas Pearsons r

Pearsons korrelationskoefficient bygger på hur varje punkt avviker från medelvärdena. Man räknar ut tre summor:

• $S_{\mathrm{xx}}$, summan av $(x-m_x{)}^2$, där $m_x$ är medelvärdet av x
• $S_{\mathrm{yy}}$, summan av $(y-m_y{)}^2$, där $m_y$ är medelvärdet av y
• $S_{\mathrm{xy}}$, summan av $(x-m_x)(y-m_y)$

Sedan är $r=\frac{S_{\mathrm{xy}}}{\sqrt{S_{\mathrm{xx}}·S_{\mathrm{yy}}}}$. Täljaren blir positiv när punkterna oftast ligger på samma sida om båda medelvärdena och negativ när de ligger på olika sidor. Nämnaren skalar om så att svaret hamnar mellan −1 och 1, oberoende av enheter. Medelvärdena räknas som i medelvärdeskalkylatorn, och $S_{\mathrm{xx}}$ är nära släkt med variansen i variansberäkningen.

Hur starkt är sambandet?

En vanlig tumregel är att |r| under 0,3 är ett svagt samband, 0,3–0,7 måttligt och över 0,7 starkt. Det är bara en riktlinje. Inom fysik kan 0,9 vara svagt, medan 0,3 kan vara intressant i samhällsvetenskap där många faktorer spelar in.

Kvadraten $r^2$ visar hur stor del av variationen i y som hänger ihop linjärt med x. Med r = 0,994 är $r^2$ 98,7 %. För fem punkter med r = −0,916 är $r^2$ 84,0 %, och för sex punkter med r = 0,131 bara 1,7 %.

Kan sambandet vara slump?

Med få punkter kan ett ganska högt r uppstå av en slump. Kalkylatorn räknar därför ett p-värde för nollhypotesen att det inte finns någon korrelation i populationen, med $t=r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}$ och $n-2$ frihetsgrader. För fem punkter med r = −0,916 blir p-värdet 0,0287, medan sex punkter med r = 0,131 ger 0,805, alltså långt från signifikant. Mer om p-värden finns i signifikanstestet.

Pearson eller Spearman?

Pearsons r mäter linjära samband och påverkas mycket av extremvärden. Spearmans rangkorrelation ersätter först varje värde med dess rang, alltså dess plats i storleksordning, och räknar sedan Pearsons formel på rangerna. Den mäter om sambandet är monotont, alltså om y tenderar att öka när x ökar, oavsett om det sker linjärt.

Exempel: nio punkter där en enda ligger långt från de andra. Pearson ger r = 0,971, nästan helt styrt av den avvikande punkten, medan Spearman ger rₛ = 0,621. För standardexemplet ger Spearman rₛ = 0,976. Välj Spearman för rangordnade data, som betyg eller placeringar, och när det finns extremvärden.

Hur många datapar behövs?

Ju färre punkter, desto mer kan r variera av en slump. Med fem punkter kan ett r på 0,8 uppstå även när det inte finns något verkligt samband, medan samma r med 50 punkter är mycket säkert. En tumregel är att ha minst 20–30 par om man vill dra slutsatser om populationen. Med färre punkter bör man titta extra noga på p-värdet och på diagrammet.

Exempel på användning

Korrelation används överallt där man vill se om två mått hänger ihop: längd och vikt, temperatur och elförbrukning, betyg i två ämnen. Inom sparande används korrelationen mellan olika tillgångar för att sprida risker. Tillgångar som inte rör sig i takt minskar svängningarna i en portfölj, även om avkastningen för var och en är densamma. Hur långt ett enskilt värde ligger från medelvärdet mäts med z-poäng.

Korrelation är inte kausalitet

Att två variabler följs åt betyder inte att den ena orsakar den andra. Glassförsäljning och drunkningsolyckor är positivt korrelerade, men båda beror på varmt väder. En sådan bakomliggande faktor kallas störfaktor. Ibland är orsaksriktningen omvänd, och ibland är sambandet ren slump, särskilt när man letar igenom många variabler.

För att visa orsakssamband behövs normalt ett kontrollerat experiment där man själv ändrar x och ser vad som händer med y, eller noggrann analys av störfaktorer.

När r ljuger

Pearsons r mäter bara linjära samband. Punkterna $(x;x^2)$ för x från −3 till 3 ligger på en perfekt parabel, men ger r = 0,000. Titta därför alltid på spridningsdiagrammet. Ett r nära 0 kan dölja ett starkt böjt samband, och ett högt r kan bero på en enda avvikande punkt.

Korrelation eller regression?

Korrelation svarar på hur starkt två variabler hänger ihop, och den är symmetrisk: x och y kan byta plats. Vill du i stället ha en ekvation för att förutsäga y från x använder du linjär regression. Lutningen i en rät linje förklaras i k-värdeskalkylatorn.

Fler statistikverktyg

Spridningen i varje variabel räknas i standardavvikelsekalkylatorn. Alla statistikverktyg finns bland statistikkalkylatorerna, och övriga områden på matematiksidan.