Varians

Vad är varians?

Variansen är ett mått på hur utspridda värdena är kring medelvärdet. Den är medelvärdet av de kvadrerade avvikelserna, med en liten justering för stickprov. Roten ur variansen är standardavvikelsen, som är det mått de flesta använder för att beskriva spridning. Variansen är ändå viktig, eftersom den är lättare att räkna vidare med i statistiska metoder.

Eftersom avvikelserna kvadreras får variansen enheten i kvadrat. Mäter du längder i cm får variansen enheten cm². Det gör den svår att tolka direkt, och därför är standardavvikelsen vanligare när man beskriver en datamängd i ord.

Formeln för varians

För ett stickprov:

$s^2=\frac{\Sigma (x-m{)}^2}{n-1}$

Här är $m$ medelvärdet, som ofta skrivs x̄. För en hel population delar man med $n$ i stället och skriver ${\sigma }^2$. Täljaren, summan av de kvadrerade avvikelserna, kallas kvadratsumma.

Med förvalet 12, 15, 11, 18 och 14 är medelvärdet 14. Avvikelserna är −2, 1, −3, 4 och 0. Kvadraterna 4, 1, 9, 16 och 0 ger kvadratsumman 30. Som stickprov blir variansen 30 / 4 = 7,5, som population 30 / 5 = 6.

Räknarformeln: utan att räkna avvikelser

Det finns en omskrivning som bara behöver summan av värdena och summan av deras kvadrater:

$s^2=\frac{\Sigma x^2-n·m^2}{n-1}$

För förvalet är summan av kvadraterna 144 + 225 + 121 + 324 + 196 = 1 010. Då blir täljaren 1 010 − 5 · 14² = 1 010 − 980 = 30, samma kvadratsumma som förut. Formeln är praktisk när du har många värden eller när du redan har summorna. Den kan däremot ge avrundningsfel om värdena är stora och ligger nära varandra, eftersom två stora tal subtraheras. Kalkylatorn räknar därför med avvikelserna och visar räknarformeln som kontroll.

Stickprov eller population?

Skillnaden mellan formlerna är bara nämnaren. Med n − 1 får du stickprovsvariansen s², som används när värdena är ett urval och du vill säga något om en större grupp. Med n får du populationsvariansen σ², som beskriver exakt de värden du har. Kalkylatorn väljer stickprov som standard, eftersom det är det vanligaste i uppgifter och undersökningar. Skillnaden är stor när du har få värden: med 5 värden är det 25 % skillnad mellan att dela med 4 och med 5, med 100 värden bara 1 %.

Ett exempel till

Sex elever fick poängen 6, 8, 9, 7, 10 och 8 på ett kort test. Summan är 48 och medelvärdet 8. Avvikelserna är −2, 0, 1, −1, 2 och 0, och kvadraterna 4, 0, 1, 1, 4 och 0. Kvadratsumman blir 10. Stickprovsvariansen är 10 / 5 = 2 poäng², och standardavvikelsen är roten ur det, ungefär 1,414 poäng. Med räknarformeln: summan av kvadraterna är 36 + 64 + 81 + 49 + 100 + 64 = 394, och 394 − 6 · 8² = 394 − 384 = 10. Samma svar.

Vilka värden bidrar mest till variansen?

Diagrammet i kalkylatorn visar varje värdes kvadrerade avvikelse. Eftersom avvikelserna kvadreras väger värden långt från medelvärdet mycket tungt. I förvalet ligger 18 fyra steg från medelvärdet och bidrar med 16 av totalt 30, mer än hälften. Ett enda extremvärde kan alltså dominera variansen helt.

Det är skälet till att man ibland använder spridningsmått som inte påverkas lika mycket, som kvartilavståndet. Den enklaste kontrollen är variationsbredden, största minus minsta värde, som snabbt visar om något värde sticker ut.

Från standardavvikelse till varians och tillbaka

Variansen är standardavvikelsen i kvadrat, och standardavvikelsen är roten ur variansen. En standardavvikelse på 2,5 ger variansen 6,25. Byt läge i kalkylatorn till "Standardavvikelse" om du bara vill göra den omvandlingen. Kvadrater och rötter kan du också räkna med potenskalkylatorn och rotkalkylatorn.

Räkneregler för varians

• Lägg till samma tal till alla värden: variansen ändras inte.
• Multiplicera alla värden med ett tal k: variansen multipliceras med k². Värdena 1–5 har variansen 2,5, och 10, 20, 30, 40, 50 har 250, alltså 100 gånger större.
• Variansen är alltid 0 eller positiv. Den är 0 bara om alla värden är lika.
• För oberoende storheter kan varianserna adderas, men standardavvikelserna kan inte det. Det är en av anledningarna till att variansen används i statistisk teori.

Varians i statistiska metoder

Variansen är byggstenen i många statistiska metoder. När man jämför två grupper i ett signifikanstest vägs skillnaden i medelvärde mot variansen i grupperna. När man räknar ett konfidensintervall för ett medelvärde behövs standardavvikelsen, alltså roten ur variansen. Och z-värdet mäter avståndet till medelvärdet i antal standardavvikelser. Förstår du variansen blir resten av statistiken mycket lättare att följa.

Vanliga fel

• Att dela med n när uppgiften gäller ett stickprov. Står det urval eller stickprov ska det vara n − 1.
• Att i räknarformeln räkna (Σx)² i stället för Σx². Det är summan av kvadraterna som behövs.
• Att svara med variansen när frågan gäller standardavvikelse, eller tvärtom.
• Att glömma att enheten blir i kvadrat.

Så gör du på räknaren

1. Mata in värdena i en lista och välj envariabelstatistik.
2. Räknaren visar standardavvikelsen, oftast både för stickprov och population.
3. Kvadrera den standardavvikelse du behöver för att få variansen.
4. Vissa räknare visar också Σx och Σx², och då kan du använda räknarformeln direkt.

I Excel heter funktionerna VARIANS.S för stickprov och VARIANS.P för population. Fler verktyg finns bland statistikkalkylatorerna och på matematiksidan.