Areasatsen – arean av en triangel ur två sidor och en vinkel

Vad säger areasatsen?

Den vanliga formeln för en triangels area är basen gånger höjden delat med två. Problemet är att höjden sällan är känd. Areasatsen löser det genom att räkna ut höjden med sinus:

$T=\frac{a·b·\sin C}{2}$

Här är $a$ och $b$ två sidor och $C$ vinkeln mellan dem. Vilka två sidor du väljer spelar ingen roll, så länge vinkeln är den som ligger mellan just de sidorna. Satsen gäller i alla trianglar, spetsvinkliga, rätvinkliga och trubbvinkliga.

Varför stämmer areasatsen?

Lägg sidan $a$ som bas. Höjden är det vinkelräta avståndet från det tredje hörnet ner till basen. Sidan $b$, höjden och en bit av basen bildar en rätvinklig triangel där $b$ är hypotenusa och höjden är motstående katet till vinkeln $C$. Alltså är $h=b·\sin C$. Sätter du in det i den vanliga formeln $T=\frac{a·h}{2}$ får du areasatsen direkt. Är vinkeln trubbig hamnar höjden utanför triangeln, men eftersom $\sin (180°-C)=\sin C$ blir uttrycket detsamma.

Samma höjd används för att härleda sinussatsen. De två satserna används ofta tillsammans.

Exempel 1: arean ur två sidor och en vinkel

Sidorna 6 cm och 8 cm möts i vinkeln 30°. Eftersom $\sin 30°$ = 0,5 blir arean $\frac{6·8·\mathrm{0,5}}{2}$ = 12 cm². Höjden mot sidan 6 är 4 cm, och den tredje sidan, som räknas med cosinussatsen, blir 4,11 cm.

Exempel 2: största möjliga area

Med samma sidor och vinkeln 90° blir arean 24 cm², eftersom $\sin 90°$ = 1. Det är den största area två sidor på 6 och 8 cm kan ge, och triangeln är då halva rektangeln med sidorna 6 och 8. Med vinkeln 150° blir arean 12 cm² igen, precis som för 30°, eftersom $\sin 150°=\sin 30°$. Formen blir en annan, men höjden mot sidan 6 är 4 cm i båda fallen och arean därför densamma.

Exempel 3: vinkeln ur arean

Vet du arean och två sidor kan du lösa ut vinkeln: $\sin C=\frac{2T}{\mathrm{ab}}$. En triangel med sidorna 6 och 8 och arean 12 cm² ger $\sin C$ = 0,5, alltså $C$ = 30° eller 150° (då är c ≈ 13,53). Båda svaren är korrekta. Uppgiften måste säga något mer, till exempel att vinkeln är spetsig, för att du ska kunna välja. Är arean större än $\frac{\mathrm{ab}}{2}$ finns ingen lösning alls. Arean 30 cm² går inte att få med sidorna 6 och 8, och kalkylatorn varnar.

Vanliga fel

• Vinkeln ligger inte mellan de två sidorna. Satsen kräver vinkeln där sidorna möts.
• Glömt att dela med två. Utan tvåan får du arean av en parallellogram.
• Räknaren står i radianer. Då blir $\sin 30$ ungefär −0,99 i stället för 0,5.
• Bara en lösning angiven när vinkeln räknas ut ur arean. Både $C$ och 180° − $C$ fungerar.
• Arean anges i fel enhet. Med sidor i meter blir arean i kvadratmeter.

Areasatsen och parallellogrammen

En diagonal delar en parallellogram i två lika stora trianglar. Därför är parallellogrammens area $a·b·\sin v$, alltså samma formel utan division med två. Det är praktiskt för till exempel en romb eller en sned tomt där du vet sidorna och vinkeln men inte höjden. På samma sätt kan en oregelbunden fyrhörning delas med en diagonal i två trianglar, och arean blir summan av de två trianglarnas areor.

Om du bara vet sidorna

Vet du alla tre sidor men ingen vinkel finns två vägar. Antingen räknar du först ut en vinkel med cosinussatsen och sätter in den i areasatsen, eller så använder du Herons formel: $T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, där $s$ är halva omkretsen. För en triangel med sidorna 5, 6 och 7 är $s$ = 9, och arean blir $\sqrt{9·4·3·2}$ ≈ 14,7. Båda vägarna ger samma svar, men areasatsen är ofta enklare att komma ihåg och ger dessutom vinkeln på köpet.

Typiska provuppgifter

Den vanligaste uppgiften ger en triangel med två sidor och vinkeln mellan dem och frågar efter arean. Svårare uppgifter vänder på det: arean är given och en sida eller vinkel söks, och då ska båda vinkelsvaren redovisas. Ibland ges tre sidor. Då räknas först en vinkel ut med cosinussatsen och sedan arean med areasatsen. En vanlig kombination är att visa att en liksidig triangel med sidan 10 har arean $\frac{10·10·\sin 60°}{2}$ ≈ 43,3. Vill du ha alla mått på en gång använder du triangellösaren.

Tillämpningar

Areasatsen är praktisk när du mäter ytor ute. En trekantig tomtdel med sidorna 32 m och 25 m och vinkeln 75° mellan dem har arean 386 m², och du behöver aldrig mäta någon höjd tvärs över gräset. Det räcker med ett måttband och en vinkelmätare i hörnet. Ska du så eller lägga ny gräsmatta på ytan räknar gräsmattekalkylatorn ut hur mycket som går åt. Har ytan fler hörn delar du den i trianglar och lägger ihop. Samma princip används i lantmäteri och när man räknar ytan av takfall och gavlar.

Så gör du på räknaren

• Ställ räknaren i grader (DEG).
• Area: 6 × 8 × sin(30) ÷ 2 =.
• Vinkel: SHIFT sin(2 × 12 ÷ (6 × 8)) =. Den andra lösningen är 180 minus svaret.

Andra sätt att räkna triangelns area, till exempel med bas och höjd, finns i triangelkalkylatorn, och areor för fler former i areakalkylatorn. Alla verktyg för trianglar och vinklar finns bland trigonometrikalkylatorerna och resten på matematiksidan.