Enhetscirkeln – sin och cos som koordinater

Vad är enhetscirkeln?

Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 och medelpunkten i origo i ett koordinatsystem. Den används för att definiera sinus och cosinus för alla vinklar, inte bara de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel. Vinkeln mäts från positiva x-axeln, och positiva vinklar går moturs medan negativa går medurs. Där vinkelns ben skär cirkeln ligger en punkt, och den punktens koordinater är per definition $(\cos v;\sin v)$.

Att radien är just 1 är poängen. I en rätvinklig triangel är sinus motstående katet delat med hypotenusan, och när hypotenusan är 1 blir sinus lika med kateten själv, alltså punktens höjd. På samma sätt blir cosinus punktens avstånd i x-led. För spetsiga vinklar ger enhetscirkeln därför exakt samma värden som triangeldefinitionen i sin-cos-tan-kalkylatorn, men den fortsätter att fungera efter 90°.

Kvadranterna och tecknen

Koordinataxlarna delar cirkeln i fyra kvadranter, numrerade moturs från första kvadranten uppe till höger. Tecknet på sin och cos följer direkt av var punkten ligger:

• Kvadrant 1 (0°–90°): x och y positiva, så sin, cos och tan är positiva.
• Kvadrant 2 (90°–180°): x negativ, y positiv. sin är positiv, cos och tan negativa.
• Kvadrant 3 (180°–270°): båda negativa. tan är positiv eftersom minus delat med minus blir plus.
• Kvadrant 4 (270°–360°): x positiv, y negativ. cos är positiv, sin och tan negativa.

Tangens syns också i figuren. Den är kvoten y/x, alltså lutningen på linjen från origo till punkten. När linjen är lodrät, vid 90° och 270°, är x lika med 0 och tangens saknas.

Referensvinkel och symmetrier

Referensvinkeln är den spetsiga vinkeln mellan vinkelns ben och närmaste del av x-axeln. Den har samma absoluta värden på sin och cos som den ursprungliga vinkeln, bara tecknen kan skilja. Det gör att du bara behöver kunna värdena i första kvadranten. Allt annat följer av symmetri.

• $180°-v$: spegling i y-axeln. Samma sinus, motsatt cosinus.
• $180°+v$: spegling i origo. Både sin och cos byter tecken, tangens är samma.
• $-v$ eller $360°-v$: spegling i x-axeln. Samma cosinus, motsatt sinus.
• $v+n·360°$: samma punkt efter n hela varv.

De här sambanden är grunden för att lösa trigonometriska ekvationer. En ekvation som sin v = 0,5 har två lösningar per varv, eftersom en horisontell linje på höjden 0,5 skär cirkeln i två punkter. Kalkylatorn ritar ut de symmetriska punkterna om du slår på visningen av dem.

Räknade exempel

Vinkeln 40° ligger i första kvadranten. Punkten har koordinaterna (0,766; 0,6428), alltså cos 40° ≈ 0,766 och sin 40° ≈ 0,6428. Kontrollen ${\mathrm{0,7660}}^2+{\mathrm{0,6428}}^2\approx 1$ bekräftar att punkten ligger på cirkeln.

Vinkeln 210° ligger i kvadrant 3. Referensvinkeln är 30°, och eftersom sin 30° = 0,5 och cos 30° ≈ 0,866 blir punkten (−0,866; −0,5) när båda tecknen byts. Tangens är positiv, 0,5774, precis som för 30°.

Vinkeln −60° går medurs och hamnar på samma ställe som 300°, i kvadrant 4. Där är cos = 0,5 och sin ≈ −0,866. Vinkeln 500° är mer än ett varv; drar man bort 360° återstår 140°, i kvadrant 2.

I radianer är ett helt varv $2\pi$, så $\frac{3\pi }{4}$ är tre åttondelar av ett varv, 135°. Punkten blir (−0,7071; 0,7071), vilket är $(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$. Omvandlingen mellan enheterna gör grader- och radiankalkylatorn.

Enhetscirkeln och radianer

Eftersom radien är 1 är omkretsen $2\pi$. En båge på enhetscirkeln är därför exakt lika lång som vinkeln uttryckt i radianer, vilket är själva definitionen av radianen. På en större cirkel blir bågen radien gånger vinkeln, som båglängdskalkylatorn räknar ut, och arean av motsvarande tårtbit räknar cirkelsektorkalkylatorn ut. I lantmäteri används ofta gon, där ett varv är 400 gon, något som gonkalkylatorn hanterar.

Vanliga fel

• Att blanda ihop vilken koordinat som är sin och vilken som är cos. Tänk alfabetiskt: x kommer före y och cos före sin, så punkten är (cos; sin).
• Att mäta vinkeln från y-axeln eller medurs. I matematiken börjar man vid positiva x-axeln och går moturs.
• Fel tecken i fel kvadrant. Rita alltid en skiss och avgör tecknet innan du räknar.
• Att tro att sin(−v) och −sin v är olika saker. De är lika, eftersom −v är speglingen i x-axeln. Däremot är cos(−v) = cos v, utan minustecken.
• Att räkna referensvinkeln som avståndet till y-axeln. Referensvinkeln mäts alltid mot x-axeln, så för 120° är den 60°, inte 30°.

Typiska provuppgifter

En vanlig uppgift ger en vinkel som 150°, 225° eller 300° och ber om exakt värde utan räknare. Lösningsgången är att bestämma kvadranten, ta fram referensvinkeln, slå upp värdet för den i första kvadranten och sätta rätt tecken. En annan typ ger ett värde, till exempel cos v = −0,5, och ber om alla vinklar mellan 0° och 360°. Då ritar man en lodrät linje vid x = −0,5 och läser av de två skärningspunkterna, 120° och 240°.

Det förekommer också bevisuppgifter där man ska visa samband som ${\sin }^{2}v+{\cos }^{2}v=1$ med enhetscirkeln. Det följer direkt av Pythagoras sats, eftersom punktens avstånd till origo är 1. Vill du räkna ut vinkeln ur ett känt värde används invers trigonometri.

Tillämpningar

En punkt som rör sig runt cirkeln med jämn fart har en y-koordinat som följer en sinuskurva, och det är så man beskriver allt som svänger eller roterar: hjul, vevaxlar, ljudvågor och växelström. Datorgrafik använder cos och sin för att rotera föremål.

Så gör du på räknaren

• Ställ in gradläge eller radianläge efter hur vinkeln är given.
• Räkna ut punkten med cos(210) = och sin(210) =.
• För negativa vinklar skriver du minustecknet med (−)-knappen, inte med subtraktionsknappen.

Fler kalkylatorer om vinklar finns bland kalkylatorerna för trigonometri och på matematiksidan.