Cirkelkalkylator

Cirkelns fyra mått

En cirkel består av alla punkter som ligger på samma avstånd från en mittpunkt. Det avståndet kallas radien, $r$. Diametern, $d$, är sträckan tvärs över cirkeln genom mittpunkten och är alltid dubbelt så lång som radien. Omkretsen är längden runt kanten, och arean är ytan innanför. Vet du ett av de fyra måtten kan du räkna ut de andra tre, och det är precis vad kalkylatorn gör.

• Diameter: $d=2r$
• Omkrets: $O=2\pi r=\pi d$
• Area: $A=\pi r^2$
• Radie ur arean: $r=\sqrt{\frac{A}{\pi }}$

Talet π, pi, är förhållandet mellan omkretsen och diametern och är ungefär 3,14159. Det är samma tal för alla cirklar, stora som små. Att omkretsen är lite drygt tre gånger diametern kan du se själv genom att linda ett snöre runt en burk och jämföra med burkens bredd.

Varför arean är π gånger radien i kvadrat

Tänk dig att du skär cirkeln i många smala tårtbitar och lägger dem omväxlande upp och ned bredvid varandra. Ju fler bitar, desto mer liknar raden en rektangel. Rektangelns höjd blir radien, och dess bredd blir halva omkretsen, alltså $\pi r$. Arean blir då $\pi r·r=\pi r^2$. Samma resonemang med en enda tårtbit ger formeln för en cirkelsektor.

Eftersom radien står i kvadrat växer arean snabbt. Dubbla radien ger fyra gånger så stor area, men bara dubbelt så lång omkrets. Det är därför en stor pizza ofta är mer prisvärd än två små.

Exempel: radie 5 cm

En cirkel med radien 5 cm har diametern 10 cm. Omkretsen blir $2\pi ·5\approx \mathrm{31,42}$ cm och arean $\pi ·5^2\approx \mathrm{78,54}$ cm². Det motsvarar 0,00785 m².

Exempel: från diametern

Oftast är det lättare att mäta diametern än radien, eftersom mittpunkten sällan är utmärkt. En kruka som är 30 cm tvärs över har radien 15 cm. Omkretsen blir 94,25 cm och arean 706,86 cm². Kalkylatorn delar diametern med två först, och det är det steg som oftast glöms bort när man räknar för hand.

Exempel: baklänges från omkrets eller area

Har du mätt runt ett träd eller en stolpe med ett måttband vet du omkretsen. En omkrets på 100 cm ger radien $\frac{100}{2\pi }\approx \mathrm{15,92}$ cm och arean 795,77 cm². På samma sätt kan du gå från arean. En rund rabatt på 50 m² har radien $\sqrt{\frac{50}{\pi }}\approx \mathrm{3,99}$ m, alltså en diameter på 7,98 m.

Hur noggrant behöver du mäta?

Eftersom arean beror på radien i kvadrat blir ett mätfel i radien ungefär dubbelt så stort i arean. Mäter du radien 1 % för lång blir arean cirka 2 % för stor, medan omkretsen bara blir 1 % fel. För en rabatt eller en altan spelar det sällan någon roll, men när du beställer material efter ytan kan det vara värt att mäta diametern på två ställen och räkna med medelvärdet. Det är också bättre att mäta omkretsen med ett måttband och låta kalkylatorn räkna fram radien än att gissa var mittpunkten ligger.

Ska svaret avrundas, vänta med det till sist. Avrundar du radien först och sedan räknar arean följer avrundningsfelet med och förstärks.

Vanliga fel

• Att använda diametern i areaformeln. $\pi d^2$ ger fyra gånger för stor area. Dela diametern med två först.
• Att blanda ihop $2\pi r$ och $\pi r^2$. Omkretsen är en längd och har enheten cm, arean är en yta och har cm².
• Att kvadrera π i stället för radien. Det är bara $r$ som ska upphöjas till två.
• Att avrunda π till 3. Det ger nästan 5 % för lite. Använd π-knappen eller minst 3,14.
• Att glömma att kvadrera enheten. 5 cm i radie ger arean i cm², inte cm.

Typiska provuppgifter

En vanlig uppgift ger diametern och frågar efter arean. Lösningen är att halvera diametern, kvadrera radien och multiplicera med π. En annan typ ger arean och frågar efter omkretsen. Då räknar man först ut radien med roten ur $\frac{A}{\pi }$ och sätter sedan in den i omkretsformeln. Uppgifter med halvcirklar och kvartscirklar löses med samma formler: räkna ut hela cirkeln och ta hälften eller en fjärdedel. Kom ihåg att omkretsen av en halvcirkel också innehåller diametern, den raka kanten.

Ibland ska svaret anges exakt, med π kvar. Radien 3 ger då arean $9\pi$ och omkretsen $6\pi$. Kalkylatorn visar alltid närmevärdet, men stegen visar vilka tal som står framför π.

Ett exempel med en kvartscirkel: en rabatt formad som en fjärdedel av en cirkel med radien 4 m har arean $\frac{\pi ·4^2}{4}=4\pi \approx \mathrm{12,57}$ m². Kanten runt den består av kvartsbågen, $\frac{2\pi ·4}{4}=2\pi \approx \mathrm{6,28}$ m, plus två raka kanter på 4 m vardera, totalt cirka 14,28 m. Rita gärna en skiss, så blir det lättare att se vilka delar som ska räknas med.

Cirklar i vardagen

Inom bygg och trädgård behövs cirkelns area för att räkna ut hur mycket jord, grus eller gräsfrö som går åt till en rund yta, och omkretsen för att veta hur lång kantsten eller bevattningsslang som behövs. En rund altan med diametern 4 m har arean 12,57 m² och omkretsen 12,57 m. Volymen i en rund pool får du genom att multiplicera arean med djupet, vilket poolvolymkalkylatorn gör. Samma sak gäller en cylinder, vars volym är bottenytan gånger höjden.

Pizzor är ett bra exempel på hur arean växer. En pizza på 30 cm har arean 706,86 cm², medan en på 40 cm har 1 256,64 cm², alltså ungefär 78 % mer pizza. Pizzakalkylatorn jämför pris per yta. När du syr en rund duk eller klipper ett runt tyg behövs arean för tygåtgången och omkretsen för kantbandet.

Så gör du på räknaren

• Area ur radie: π × 5 x² =. Har räknaren ingen x²-knapp, skriv 5 ^ 2.
• Omkrets ur radie: 2 × π × 5 =.
• Radie ur area: √(50 ÷ π) =. Skriv parentesen, annars delas bara roten.
• Använd π-knappen i stället för 3,14 när svaret ska vara noggrant.

Relaterade former

En del av en cirkel räknar du med cirkelsektorkalkylatorn, och längden på en bit av kanten med båglängdskalkylatorn. En utdragen cirkel är en ellips, och i tre dimensioner blir cirkeln ett klot. Inom trigonometrin används en cirkel med radien 1, enhetscirkeln, för att definiera sinus och cosinus. Andra former finns i areakalkylatorn och omkretskalkylatorn. Alla kalkylatorer för plana figurer finns bland geometrikalkylatorerna och på matematiksidan.