Tresatsen

Tresatsen är metoden för att räkna ut ett fjärde tal när tre är kända och förhållandet mellan dem är proportionellt. Kostar 3 äpplen 24 kronor, vad kostar 5? Sambandet är konstant per äpple, och det gör att svaret kan räknas ut direkt.

Namnet kommer av att just tre tal är kända. Metoden kallas också proportionalitet eller regula de tri, och den är en av de mest använda beräkningarna i vardagen — långt utanför matematiklektionen. Fler algebraverktyg samlas i vår hubb för algebra och ekvationer, där tresatsen är den mest praktiskt användbara av dem alla.

Ur proportionen a/b = c/x följer x = (b · c) / a. Delarna betyder följande:

• a och b — det kända paret, till exempel 3 äpplen som kostar 24 kronor.
• c — den nya mängden, till exempel 5 äpplen.
• x — det sökta värdet, alltså vad de nya äpplena kostar.
• Korsmultiplikation innebär att a · x = b · c, vilket löses genom division med a.
• Metoden kräver att sambandet är proportionellt — dubbla mängden ska ge dubbla värdet.

1. Uppgiften är: 3 äpplen kostar 24 kr, vad kostar 5 äpplen?
2. Räkna först ut värdet per enhet: 24 ÷ 3 = 8 kr per äpple.
3. Multiplicera med den nya mängden: 8 · 5 = 40 kr.
4. Alternativt korsmultiplicera direkt: x = (24 · 5) ÷ 3 = 120 ÷ 3 = 40.
5. Kontroll: förhållandet 24/3 är 8, och 40/5 är också 8 — proportionen stämmer.

Vägen via enhetsvärdet är oftast tydligast att redovisa, medan korsmultiplikation går snabbare. Båda ger samma svar, och kalkylatorn visar den senare med enhetsvärdet som mellansteg. På prov är enhetsvärdesmetoden att föredra eftersom varje steg blir synligt — och för överslagsräkning i huvudet är den nästan alltid smidigast.

Tresatsen förutsätter att dubbel mängd ger dubbelt värde. Det gäller för priser per styck, receptmängder och sträcka i konstant fart — men inte för allt. Att en person målar ett rum på 4 timmar betyder inte att fyra personer gör det på 16 timmar, utan på 1 timme.

Sådana samband är omvänt proportionella: när det ena ökar minskar det andra. Då gäller i stället att produkten är konstant, alltså a · b = c · x. Kontrollera alltid vilken typ av samband uppgiften beskriver innan du räknar — det är det enda riktiga felsteget i metoden. En bra tumregel är att fråga sig om dubbel mängd rimligen ger dubbelt värde eller halva.

• Att använda tresatsen på samband som inte är proportionella, som arbetstid för flera personer.
• Att blanda ihop vilka tal som hör ihop — mängderna ska stå på samma sida i proportionen.
• Att dividera åt fel håll och få det inverterade svaret.
• Att glömma kontrollera enheterna: kronor per kilo och kronor per styck går inte att blanda.
• Att avrunda enhetsvärdet i mellansteget och därmed förskjuta slutsvaret.
• Att tro att fasta avgifter kan hanteras med tresatsen — de bryter proportionaliteten.

Tresatsen introduceras i årskurs 5–6 och tränas genom hela mellan- och högstadiet, ofta som textuppgifter om pris, recept och hastighet. På gymnasiet ingår proportionalitet i Matematik 1a, 1b och 1c, där sambandet skrivs som en linjär funktion genom origo, y = kx.

Kopplingen till räta linjens ekvation är direkt: proportionella samband är linjer utan m-värde, och konstanten k är precis enhetsvärdet. Den som ser sambandet förstår varför tresatsen alltid fungerar när grafen går genom origo — och varför den slutar fungera så snart en fast avgift läggs till.

Beräkningen kräver bara en multiplikation och en division och fungerar på vilken räknare som helst: 24 × 5 ÷ 3 ger 40. Räkna gärna enhetsvärdet först om talen är jämna — det gör överslaget lättare att göra i huvudet.

Ett bra sätt att undvika att dividera åt fel håll är att kontrollera rimligheten: fler äpplen ska kosta mer. Blir svaret mindre än utgångspriset trots ökad mängd har du vänt på divisionen. Vid omvänd proportionalitet gäller motsatsen — fler personer ska ge kortare tid, och ett svar som växer är då signalen på att fel samband använts.

Matlagning är det vanligaste: ett recept för 4 personer ska räcka till 6, och alla ingredienser skalas med samma faktor. Jämförpriser i butiken bygger på samma metod, liksom valutaväxling, bränsleförbrukning per mil och doseringar per kilo kroppsvikt. Även bygghandelns materialåtgång per kvadratmeter räknas fram med exakt samma proportion.

Skala på ritningar och kartor är proportionalitet i renodlad form — den räknar du i vår hubb för skalkalkylatorer. Och procenträkning är egentligen tresatsen med 100 som ena tal, vilket du ser i procentkalkylatorerna.

Direkt proportionalitet betyder att kvoten är konstant: dubbla mängden ger dubbla värdet, och grafen är en rät linje genom origo. Omvänd proportionalitet betyder att produkten är konstant: dubbla mängden ger halva värdet, och grafen är en hyperbel som närmar sig axlarna utan att någonsin nå dem.

Pris per styck är direkt proportionellt, medan arbetstid fördelad på flera personer är omvänt. Att avgöra vilket som gäller är hela konsten i metoden — själva räknandet är enkelt. Hela ämnesöversikten hittar du i vår matematikhubb.