Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är att skriva om ett andragradsuttryck så att det innehåller en färdig kvadrat. Uttrycket x² + 6x + 5 blir (x + 3)² − 4 — samma värde för varje x, men i en form där både minimipunkten och lösningarna kan läsas av direkt.

Metoden är motorn bakom pq-formeln: formeln är i själva verket en färdig kvadratkomplettering av den allmänna ekvationen. Fler algebraverktyg samlas i vår hubb för algebra och ekvationer.

x² + px + q = (x + p/2)² − (p/2)² + q. Delarna betyder följande:

• p/2 — halva koefficienten framför x, det tal som hamnar inuti parentesen.
• (x + p/2)² — den färdiga kvadraten, som enligt första kvadreringsregeln ger x² + px + (p/2)².
• −(p/2)² — korrigeringen som dras bort, eftersom kvadraten lade till en term som inte fanns.
• +q — den ursprungliga konstanten, som står kvar.
• Resultatet kallas vertexform och avslöjar direkt var grafens vändpunkt ligger.

1. Uppgiften är att kvadratkomplettera x² + 6x + 5.
2. Ta halva koefficienten framför x: 6 ÷ 2 = 3.
3. Skriv den färdiga kvadraten: (x + 3)². Den utvecklas till x² + 6x + 9.
4. Kvadraten lade till 9 som inte fanns i uttrycket — dra bort den igen: (x + 3)² − 9.
5. Lägg till den ursprungliga konstanten 5: (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4.
6. Kontroll: utveckla tillbaka — x² + 6x + 9 − 4 = x² + 6x + 5. Stämmer.

Hela metoden är alltså att lägga till och dra bort samma tal. Kvadraten byggs upp, och det överskott den skapar korrigeras direkt bort — uttryckets värde är orört genom hela omskrivningen. Just den insikten gör metoden lätt att komma ihåg: du ändrar aldrig uttrycket, du skriver bara om det så att en färdig kvadrat blir synlig.

I formen (x + 3)² − 4 syns minimipunkten omedelbart. En kvadrat är alltid minst noll, så uttrycket är som minst när (x + 3)² = 0, alltså när x = −3. Då är värdet −4, och vändpunkten ligger i (−3, −4). Notera tecknet: parentesen blir noll vid det tal som gör innehållet noll, vilket är motsatsen till talet som står skrivet.

Samma form löser ekvationen direkt: sätt (x + 3)² − 4 = 0, flytta över och få (x + 3)² = 4. Roten ur båda leden ger x + 3 = ±2, alltså x = −1 eller x = −5 — samma svar som pq-formeln skulle ge, men uträknat från grunden.

• Att glömma dra bort (p/2)² efter att kvadraten skapats — då ändras uttryckets värde.
• Att ta hela p i stället för halva p inuti parentesen.
• Att tappa tecknet när p är negativt: x² − 6x + 5 ger (x − 3)² − 4.
• Att glömma dividera med koefficienten framför x² när den inte är 1.
• Att tro att vertexformen är ett annat uttryck — det är samma värde i annan skrivning.
• Att läsa av minimipunktens x-koordinat med fel tecken: (x + 3)² har sitt minimum vid x = −3, inte x = 3.

Momentet hör till gymnasiets Matematik 2b och 2c, där det ofta introduceras precis före pq-formeln — just för att visa varifrån formeln kommer. I Matematik 3 används vertexformen för att bestämma extrempunkter utan derivata, vilket gör den till en av få tekniker som återkommer oförändrad över flera kurser.

Provuppgifter ber ofta om minimipunkten till en andragradsfunktion. Kvadratkomplettering ger svaret direkt utan derivering, vilket gör metoden till en genväg värd att behärska även när derivatan finns tillgänglig. Uppgifter formuleras också som optimering i text: största möjliga area, lägsta möjliga kostnad, högsta punkt i en kastbana — alla tre löses med samma omskrivning.

Symbolisk omskrivning kräver CAS. På en vanlig räknare kontrollerar du i stället numeriskt: sätt in samma x-värde i båda formerna och se att de ger samma resultat. Med x = 2 ger x² + 6x + 5 värdet 21, och (2 + 3)² − 4 ger också 21. Den kontrollen tar tio sekunder och fångar alla tecken- och räknefel i omskrivningen.

Grafräknare kan visa vändpunkten direkt under CALC → minimum, vilket är ett bra sätt att kontrollera att kvadratkompletteringen blev rätt. Ligger grafens minimum i (−3, −4) stämmer vertexformen.

Optimeringsproblem är den vanligaste tillämpningen: vilken bredd ger störst area vid ett givet staket, vilket pris ger störst vinst? Sambanden är ofta andragradsuttryck, och vertexformen ger svaret utan derivata. Areaberäkningarna i sig gör du i vår hubb för geometrikalkylatorer.

I fysiken används metoden för kaströrelser, där den högsta punkten i banan är just vertexpunkten. Och inom statistiken dyker den upp vid minsta kvadratmetoden — grunden för linjär regression, som du hittar i vår hubb för statistikkalkylatorer.

Båda skriver om uttrycket, men åt olika håll. Faktorisering ger en produkt av parenteser och avslöjar nollställena; kvadratkomplettering ger en kvadrat plus en konstant och avslöjar vändpunkten. Uttrycket x² + 6x + 5 blir (x + 1)(x + 5) faktoriserat men (x + 3)² − 4 kvadratkompletterat.

Valet styrs av frågan: ska du hitta var uttrycket är noll väljer du faktorisering, ska du hitta det största eller minsta värdet väljer du kvadratkomplettering. En viktig skillnad är att kvadratkomplettering alltid fungerar, medan faktorisering kräver att reella nollställen finns.