Andragradsekvation (pq-formeln)

En andragradsekvation är en ekvation där den okända förekommer i kvadrat men inte i högre potens. Normalformen i svensk skola är x² + px + q = 0, där p och q är kända tal. Ekvationen x² + 4x − 5 = 0 har alltså p = 4 och q = −5.

Till skillnad från en förstagradsekvation har en andragradsekvation normalt två lösningar. Det beror på att kvadreringen suddar ut tecknet: både 3 och −3 ger 9 när de kvadreras. Enklare ekvationer utan kvadratterm löser du i vår ekvationslösare för förstagradsekvationer.

För ekvationen x² + px + q = 0 gäller x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Delarna betyder följande:

• p — koefficienten framför x. Tecknet följer med: i x² − 6x + 5 är p = −6.
• q — den rena konstanten. I samma ekvation är q = 5.
• −p/2 — mittpunkten mellan rötterna, som också är parabelns symmetrilinje.
• (p/2)² − q — diskriminanten, uttrycket under rottecknet som avgör antalet lösningar.
• Plus-minus-tecknet ger de två rötterna, en på varje sida om mittpunkten.

Står ekvationen på formen ax² + bx + c = 0 gäller i stället x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Formlerna är likvärdiga — dividerar du hela ekvationen med a får du pq-formens normalform, där p = b/a och q = c/a. Kalkylatorn har båda som valbara lägen.

1. Uppgiften är att lösa x² + 4x − 5 = 0. Här är p = 4 och q = −5.
2. Räkna ut halva p med omvänt tecken: −p/2 = −4/2 = −2.
3. Räkna ut diskriminanten: (p/2)² − q = 2² − (−5) = 4 + 5 = 9.
4. Dra roten ur: √9 = 3.
5. Sätt ihop: x = −2 ± 3, vilket ger x₁ = 1 och x₂ = −5.
6. Kontroll: 1² + 4 · 1 − 5 = 0 och (−5)² + 4 · (−5) − 5 = 25 − 20 − 5 = 0. Båda stämmer.

Kontrollen är värd att göra varje gång. Sätt in båda rötterna i den ursprungliga ekvationen — blir vänsterledet noll är lösningen rätt. Det avslöjar de teckenfel som är den vanligaste orsaken till fel svar.

Uttrycket under rottecknet bestämmer hur många lösningar ekvationen har. Är det positivt finns två rötter, är det noll finns en dubbelrot, och är det negativt finns ingen reell lösning eftersom man inte kan dra roten ur ett negativt tal bland de reella talen.

Ta x² − 6x + 9 = 0 med p = −6 och q = 9. Diskriminanten blir (−3)² − 9 = 0, vilket ger den enda lösningen x = 3. Grafiskt betyder det att parabeln nuddar x-axeln i exakt en punkt i stället för att skära igenom den — kalkylatorn talar om vilket av de tre fallen som gäller.

• Att glömma teckenbytet i −p/2: i x² + 4x − 5 = 0 är första termen −2, inte 2.
• Att missa dubbla minustecken: minus q när q är negativt blir plus, som i 4 − (−5) = 9.
• Att använda pq-formeln utan att först dela med koefficienten framför x² — formeln kräver att den är 1.
• Att flytta över termer fel: ekvationen måste stå med noll i högerledet innan p och q läses av.
• Att bara ange den ena roten när plus-minus ger två — båda ska redovisas om inget annat sägs.
• Att svara att ekvationen saknar lösning utan att nämna att lösningarna finns bland de komplexa talen.

Andragradsekvationer och pq-formeln är kärninnehåll i Matematik 2a, 2b och 2c på gymnasiet. Enklare varianter utan pq-formel, som x² = 16, dyker upp redan i årskurs 9. I Matematik 3 återkommer ekvationstypen när nollställen till andragradsfunktioner ska bestämmas med derivata och grafanalys.

Just kopplingen till grafen är värd att hålla i huvudet: rötterna är precis där parabeln skär x-axeln, och −p/2 är symmetrilinjens läge. Den som ser sambandet mellan formel och graf har lättare för hela funktionsläran som följer i Matematik 3 och 4.

Casio FX-82 saknar ekvationslösare, så där räknar du pq-formeln i två steg: först diskriminanten, sedan −p/2 plus respektive minus roten. Skriv gärna ner mellanresultatet — att räkna hela uttrycket i ett svep leder ofta till parentesfel.

Grafräknare och ClassWiz-modeller har ett läge för polynomekvationer: välj EQN eller Polynomial, ange grad 2 och mata in a, b och c. Observera att räknaren då använder abc-formen — koefficienten framför x² måste anges separat, till skillnad från pq-formeln där den alltid är 1.

Kaströrelser i fysiken beskrivs av andragradsuttryck, och att räkna ut när ett föremål landar är att lösa en andragradsekvation. Areaproblem leder ofta dit: en rektangel med känd area och ett känt förhållande mellan sidorna ger en kvadratisk ekvation. Detsamma gäller optimering av vinst och materialåtgång.

I ekonomin dyker de upp i ränteberäkningar över två perioder och i break even-analyser. Potenser och rötter som ingår i lösningen kan du räkna separat i vår potenskalkylator, och kvadratrötter i rotkalkylatorn.

De löser exakt samma problem men utgår från olika normalformer. pq-formeln kräver att koefficienten framför x² är 1, medan abc-formeln hanterar vilken koefficient som helst. Svenska läroböcker använder pq, medan engelskspråkiga använder abc — vilket förklarar varför en internetsökning på engelska ger en annan formel än den du lärt dig.

Att gå mellan dem är enkelt: dividera hela ekvationen med a, så blir p = b/a och q = c/a. Ekvationen 2x² + 8x − 10 = 0 blir efter division med 2 till x² + 4x − 5 = 0, som löses med pq-formeln på vanligt sätt. Kalkylatorn gör omskrivningen automatiskt när du väljer abc-läget.