Kvadreringsregler

Kvadreringsreglerna är genvägar för att utveckla parenteser som kvadreras. I stället för att multiplicera ihop parentesen med sig själv term för term kan du använda ett färdigt mönster: (a + b)² blir a² + 2ab + b².

Tillsammans med konjugatregeln hör de till algebrans mest använda verktyg, och de återkommer i faktorisering, ekvationslösning och förenkling av uttryck. Fler algebraverktyg hittar du i vår hubb för algebra och ekvationer.

• Första kvadreringsregeln: (a + b)² = a² + 2ab + b².
• Andra kvadreringsregeln: (a − b)² = a² − 2ab + b². Bara mittentermen byter tecken.
• Konjugatregeln: (a + b)(a − b) = a² − b². Mittentermerna tar ut varandra helt.
• Mittentermen 2ab uppstår för att ab förekommer två gånger när parenteserna multipliceras ihop.
• Sista termen b² är alltid positiv, även i andra kvadreringsregeln, eftersom minus gånger minus blir plus.

1. Uppgiften är att utveckla (x + 3)².
2. Skriv om kvadraten som en multiplikation: (x + 3)(x + 3).
3. Multiplicera varje term i första parentesen med varje term i den andra: x · x, x · 3, 3 · x och 3 · 3.
4. Det ger x² + 3x + 3x + 9.
5. Slå ihop de två lika termerna: x² + 6x + 9 — vilket är precis a² + 2ab + b² med a = x och b = 3.

Regeln är alltså ingen ny matematik utan en förkortning av en multiplikation du redan kan göra. Att förstå varifrån 2ab kommer gör att du aldrig behöver tveka på om mittentermen ska vara med. Samma resonemang gäller andra kvadreringsregeln — enda skillnaden är att den ena termen är negativ, vilket gör mittentermen negativ medan sista termen förblir positiv.

Konjugatregeln gör vissa multiplikationer nästan gratis. Vad är 98 · 102? Skriv om det som (100 − 2)(100 + 2), vilket enligt regeln blir 100² − 2² = 10 000 − 4 = 9 996. Ingen uppställning behövs.

Samma trick fungerar för alla par som ligger lika långt från ett runt tal: 47 · 53 är (50 − 3)(50 + 3) = 2 500 − 9 = 2 491. I algebran används regeln främst åt andra hållet, för att faktorisera uttryck som x² − 16 till (x + 4)(x − 4) — det gör vår faktoriseringskalkylator.

• Att glömma mittentermen: (a + b)² är inte a² + b². Det är algebrans enskilt vanligaste fel.
• Att tro att sista termen blir negativ i andra kvadreringsregeln — b² är alltid positiv.
• Att blanda ihop konjugatregeln med kvadreringsreglerna: (a + b)(a − b) har ingen mittenterm alls.
• Att glömma kvadrera koefficienten: (2x + 3)² ger 4x², inte 2x².
• Att använda reglerna på uttryck som inte har rätt form, till exempel (a + b + c)².
• Att tappa tecknet när a eller b redan är negativa i uppgiften.

Reglerna introduceras i årskurs 9 och är kärninnehåll i gymnasiets Matematik 1a, 1b och 1c. I Matematik 2 används de baklänges vid faktorisering och kvadratkomplettering, vilket i sin tur leder fram till pq-formeln för andragradsekvationer.

Att kunna reglerna åt båda hållen är därför avgörande: framlänges för att utveckla, baklänges för att känna igen ett uttryck som en kvadrat. Provuppgifter testar ofta just igenkänningen — att se att x² + 6x + 9 egentligen är (x + 3)².

Symbolisk utveckling kräver en CAS-räknare eller ett datorprogram — vanliga skolräknare kan bara räkna med siffror. Med numeriska värden kan du däremot kontrollera regeln: sätt a = 5 och b = 3 och se att (5 + 3)² = 64 och att 25 + 30 + 9 också blir 64.

Den kontrollen är faktiskt den bästa metoden att verifiera en algebraisk utveckling på prov: byt ut bokstäverna mot enkla tal och se att båda sidor ger samma resultat. Stämmer det för ett par slumpvis valda tal är utvecklingen med största sannolikhet rätt.

Den geometriska tolkningen är den tydligaste: en kvadrat med sidan a + b består av en kvadrat med sidan a, en med sidan b och två rektanglar med sidorna a och b. De två rektanglarna är precis mittentermen 2ab. Areor av sammansatta figurer räknar du i vår hubb för geometrikalkylatorer.

I fysik och statistik dyker reglerna upp när kvadrerade uttryck ska expanderas, till exempel vid beräkning av varians och standardavvikelse — mått du räknar ut i vår hubb för statistikkalkylatorer. Och i huvudräkning ger konjugatregeln snabba genvägar för multiplikationer som annars kräver uppställning, vilket gör den användbar långt utanför matematiklektionen.

Kvadreringsreglerna gäller när samma parentes multipliceras med sig själv, och resultatet får alltid tre termer. Konjugatregeln gäller när två parenteser skiljer sig enbart i tecknet mellan termerna, och då försvinner mittentermerna eftersom de tar ut varandra — kvar blir bara två termer.

Igenkänningen är nyckeln: ser du samma parentes två gånger är det kvadreringsregeln, ser du plus i den ena och minus i den andra är det konjugatregeln. Fler räkneregler och verktyg för algebra samlar vi i Algebra och ekvationer, och hela ämnesöversikten finns i vår matematikhubb.