Förkorta bråk

Att förkorta ett bråk är att dividera täljare och nämnare med samma tal, så att bråket får mindre tal men behåller exakt samma värde. 8/12 och 2/3 är samma tal — 2/3 är bara den enklaste formen, den där täljare och nämnare inte har någon gemensam delare kvar utom 1.

Förkortning är avslutningen på nästan varje bråkuppgift. Räknar du ut 4/6 + 2/6 får du 6/6... nej, 4/6 + 2/6 = 6/6 = 1 — men ett svar som 6/8 ska alltid förkortas till 3/4 innan du lämnar in det. Själva räknandet med bråk gör du i vår bråkräknare, som förkortar svaret automatiskt.

Enklaste form = (täljare ÷ SGD) / (nämnare ÷ SGD). Delarna betyder följande:

• SGD — största gemensamma delaren, det största heltal som delar både täljare och nämnare jämnt.
• Täljare ÷ SGD — den nya, mindre täljaren.
• Nämnare ÷ SGD — den nya, mindre nämnaren.
• Är SGD = 1 finns inget att förkorta — bråket är redan i enklaste form.

1. Uppgiften är att förkorta 24/36.
2. Hitta SGD för 24 och 36. Delarna till 24 är 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 och till 36 är 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Största gemensamma är 12.
3. Dividera täljaren: 24 ÷ 12 = 2.
4. Dividera nämnaren: 36 ÷ 12 = 3.
5. Svaret är 2/3. Kontroll: 2 och 3 saknar gemensam delare utom 1, så bråket går inte att förkorta mer.

Hittar du inte SGD direkt kan du förkorta i flera omgångar: 24/36 → dela med 2 → 12/18 → dela med 2 → 6/9 → dela med 3 → 2/3. Resultatet blir detsamma, det tar bara fler steg. Kalkylatorn tar alltid hela SGD i ett steg.

Förkorta −45/60. Tecknet påverkar inte förkortningen — räkna med beloppen. SGD för 45 och 60 är 15, vilket ger 45 ÷ 15 = 3 och 60 ÷ 15 = 4. Svaret är −3/4, med minustecknet kvar framför bråket eller i täljaren.

Står minustecknet i nämnaren, som i 3/−4, flyttas det upp: enklaste form skrivs alltid med positiv nämnare. Kalkylatorn normaliserar tecknet automatiskt och visar −3/4.

• Att bara dividera täljaren eller bara nämnaren — båda måste divideras med samma tal, annars ändras bråkets värde.
• Att stryka siffror i stället för att dividera: i 16/64 kan man inte "stryka sexorna" som metod, även om svaret 1/4 råkar bli rätt just här.
• Att nöja sig med en delvis förkortning: 12/18 → 6/9 ser färdigt ut men går att förkorta vidare till 2/3.
• Att förkorta över ett plus- eller minustecken — i uttrycket (2+4)/8 får du inte stryka mot 8 förrän täljaren är uträknad till 6.
• Att blanda ihop förkorta och förlänga — förlängning gör talen större med bibehållet värde och används för att hitta gemensam nämnare.

Förkortning av bråk introduceras i årskurs 4–6 och tränas intensivt i årskurs 7–9, ofta ihop med delbarhetsregler. På gymnasiet förutsätts den i Matematik 1, och i Matematik 2 och 3 återkommer exakt samma teknik när rationella uttryck som (x² − 4)/(x + 2) ska förenklas genom faktorisering.

Sambandet är värt att se tidigt: att förkorta 24/36 med SGD 12 och att förkorta (x+1)(x−2)/(x+1) med faktorn (x+1) är samma idé. Den som är trygg med siffervarianten har halva jobbet gjort i algebran.

Skolräknare som Casio FX-82 förkortar automatiskt: skriver du 24, bråkknappen, 36 och trycker lika med visas 2/3 direkt. Räknaren ger alltid bråksvar i enklaste form, och knappen S⇔D växlar till decimalform 0,6667 om du hellre vill se den.

På en räknare utan bråkläge får du gå via SGD. Många grafräknare har funktionen gcd( under matematikmenyn: gcd(24,36) ger 12, och sedan dividerar du täljare och nämnare manuellt. Mobilens standardkalkylator saknar oftast både bråkläge och SGD — då är den här kalkylatorn snabbast.

Överallt där andelar ska bli begripliga. Att 18 av 24 elever är 3/4 av klassen säger mer än 18/24. Recept skalas med förkortade förhållanden, och sannolikheter anges i enklaste form — 13/52 kort är 1/4. Även skalor på ritningar och kartor är förkortade bråk: 5 cm på 10 m är 5/1000, alltså skala 1:200.

Förkortade tal är också lättare att jämföra och räkna vidare med. Ska du omvandla bråket till decimaltal eller procent går det snabbare med små tal — det gör du i vår bråk till decimal-kalkylator, och procentandelar räknar du direkt i procentkalkylatorn.

Förkorta och förlänga är varandras motsatser, och båda lämnar bråkets värde orört. Förkortning dividerar täljare och nämnare med samma tal och ger mindre tal — 8/12 blir 2/3. Förlängning multiplicerar med samma tal och ger större — 2/3 blir 8/12 igen om du förlänger med 4.

Förlängning använder du när bråk ska få gemensam nämnare inför addition och subtraktion. Förkortning använder du på svaret, för att lämna det i enklaste form. En bra tumregel: förläng i början av uträkningen, förkorta i slutet.