Addera bråk

Att addera bråk är att lägga ihop två andelar till en gemensam summa — 1/2 pizza plus 1/3 pizza. Problemet är att halvor och tredjedelar är olika stora bitar, och olika stora bitar kan inte räknas ihop rakt av. Lösningen är att först skriva om båda bråken så att bitarna blir lika stora: att hitta en gemensam nämnare.

När nämnarna väl är lika är additionen trivial — då adderas bara täljarna. Hela svårigheten sitter alltså i förarbetet, och det är precis det kalkylatorn visar steg för steg. Behöver du även subtrahera, multiplicera eller dividera hittar du alla fyra räknesätten i vår bråkräknare.

a/b + c/d = (a·f₁ + c·f₂) / MGN, där bråken förlängs till minsta gemensamma nämnaren. Delarna betyder följande:

• MGN — minsta gemensamma nämnaren, det minsta tal som både b och d delar jämnt.
• f₁ = MGN ÷ b — förlängningsfaktorn för första bråket.
• f₂ = MGN ÷ d — förlängningsfaktorn för andra bråket.
• a·f₁ + c·f₂ — de nya täljarna adderade, över den gemensamma nämnaren.
• Sista steget är att förkorta summan till enklaste form.

1. Uppgiften är 3/4 + 5/6.
2. Hitta minsta gemensamma nämnaren för 4 och 6. Multiplarna av 4 är 4, 8, 12, 16… och av 6 är 6, 12, 18… — minsta gemensamma är 12.
3. Förläng första bråket med 12 ÷ 4 = 3: alltså 3/4 = 9/12.
4. Förläng andra bråket med 12 ÷ 6 = 2: alltså 5/6 = 10/12.
5. Addera täljarna: 9/12 + 10/12 = 19/12. I blandad form är det 1 7/12, och bråket går inte att förkorta.

Du kan alltid använda produkten av nämnarna som gemensam nämnare — 4 · 6 = 24 fungerar också. Men MGN ger mindre tal att räkna med och ett svar som oftare redan är i enklaste form. Kalkylatorn använder därför alltid MGN.

Räkna ut 2/3 + (−5/6). Att addera ett negativt bråk är samma sak som att subtrahera: MGN för 3 och 6 är 6, så 2/3 förlängs till 4/6 och summan blir 4/6 + (−5/6) = −1/6. Tecknet följer täljaren genom hela uträkningen.

Blir nämnaren negativ i något av bråken du matar in flyttar kalkylatorn upp minustecknet till täljaren innan den räknar — ett bråk skrivs alltid med positiv nämnare. −2/−3 behandlas alltså som 2/3.

• Att addera nämnarna: 1/2 + 1/3 blir inte 2/5. Nämnaren beskriver bitarnas storlek och adderas aldrig.
• Att bara förlänga det ena bråket och glömma det andra, så att summan räknas på olika stora bitar.
• Att förlänga täljaren men inte nämnaren — eller tvärtom. Förlängning multiplicerar alltid båda med samma faktor.
• Att välja en gemensam nämnare som inte är delbar med båda ursprungsnämnarna, till exempel 8 för 4 och 6.
• Att glömma förkorta summan: 4/6 + 2/6 = 6/6 ska skrivas som 1, inte lämnas som 6/6.
• Att tappa minustecknet när ett av bråken är negativt och summan byter tecken.

Addition av bråk med gemensam nämnare kommer i årskurs 4–6, och olika nämnare tränas ordentligt i årskurs 7–9. På gymnasiet förutsätts tekniken i Matematik 1, och i Matematik 2 och 3 dyker exakt samma moment upp med variabler: 1/x + 1/(x+1) löses med precis samma förlängning som 1/2 + 1/3.

Just kopplingen till minsta gemensamma nämnaren gör momentet till en klassiker på nationella proven — ofta i form av uppgifter där MGN inte är produkten av nämnarna, som 3/4 + 5/6 där MGN är 12 och inte 24. Räknar du med produkten får du rätt värde men tvingas förkorta mer i slutet.

Skolräknare som Casio FX-82 har en bråkknapp som gör additionen direkt: 3, bråkknapp, 4, plus, 5, bråkknapp, 6, lika med — displayen visar 19/12. Tryck på S⇔D för decimalformen 1,5833 och på skift + S⇔D för blandad form på de modeller som stöder det.

På räknare utan bråkläge, som mobilens standardkalkylator, får du decimalsvaret via parenteser: (3÷4)+(5÷6) = 1,5833… men aldrig bråkformen. Vill du ha svaret som exakt bråk är den här kalkylatorn eller en räknare med bråkläge det som gäller.

Matlagning är det tydligaste exemplet: 1/2 dl grädde i såsen och 3/4 dl i efterrätten är tillsammans 1 1/4 dl att köpa hem. Hantverk med tummått adderar bråk hela tiden — en skiva på 3/8 tum plus ett spackel på 1/16 tum bygger 7/16 tum. Musiker adderar notvärden: en fjärdedel plus en åttondel är tre åttondelar.

Även tid räknas ofta i bråk av timmar: tre kvart plus en halvtimme är 3/4 + 1/2 = 5/4 timme, alltså 1 timme och 15 minuter. Minsta gemensamma nämnaren du behöver på vägen kan du räkna ut separat i vår MGN-kalkylator.

Båda fungerar som gemensam nämnare — skillnaden är storleken på talen. För 3/4 + 5/6 ger produkten 24 medan MGN är 12. Med produkten blir summan 38/24, som måste förkortas till 19/12; med MGN får du 19/12 direkt. Ju större nämnare, desto mer tid sparar MGN.

MGN räknas fram via största gemensamma delaren: MGN = (b · d) ÷ SGD(b, d). För 4 och 6 är SGD 2, så MGN = 24 ÷ 2 = 12. Är nämnarna relativt prima, som 3 och 5, sammanfaller MGN med produkten. Förkortningen i slutet gör du annars enklast i vår kalkylator för att förkorta bråk.