Multiplicera bråk

Att multiplicera bråk är att ta en andel av en andel: 1/2 · 1/3 betyder hälften av en tredjedel, vilket är 1/6. Det är därför produkten av två äkta bråk alltid blir mindre än båda faktorerna — du tar en del av något som redan är en del.

Regeln är den enklaste av alla bråkregler: täljare gånger täljare och nämnare gånger nämnare, ingen gemensam nämnare behövs. Det gör multiplikationen till det räknesätt flest klarar felfritt — men också det där onödigt stora tal smyger sig in när man glömmer förkorta i förväg. Alla fyra räknesätten samlade hittar du i vår bråkräknare.

a/b · c/d = (a·c) / (b·d). Delarna betyder följande:

• a·c — täljarna multiplicerade med varandra blir den nya täljaren.
• b·d — nämnarna multiplicerade med varandra blir den nya nämnaren.
• Produkten förkortas till enklaste form med största gemensamma delaren.
• Korsvis förkortning — att förkorta en täljare mot motsatt nämnare före multiplikationen — ger samma svar med mindre tal.

1. Uppgiften är 2/3 · 9/10.
2. Multiplicera täljarna: 2 · 9 = 18.
3. Multiplicera nämnarna: 3 · 10 = 30.
4. Produkten är 18/30. Hitta SGD för 18 och 30 — den är 6.
5. Förkorta: 18 ÷ 6 = 3 och 30 ÷ 6 = 5. Svaret är 3/5.

Med korsvis förkortning slipper du de stora talen: förkorta 2 mot 10 (dela båda med 2) och 9 mot 3 (dela båda med 3) redan innan du multiplicerar. Kvar blir 1/1 · 3/5 = 3/5 — samma svar, men med tal du klarar i huvudet.

Räkna ut 3/4 · 6. Skriv heltalet som bråket 6/1 och multiplicera som vanligt: 3 · 6 = 18 och 4 · 1 = 4, alltså 18/4. Förkortat med SGD 2 blir det 9/2, som i blandad form är 4 1/2.

Tolkningen är naturlig: tre fjärdedelar av sex hela, eller sex portioner om vardera tre fjärdedelar. Ordet "av" i vardagsspråk är nästan alltid en multiplikation — hälften av, en tredjedel av, tre fjärdedelar av.

• Att skaffa gemensam nämnare i onödan — det behövs vid addition och subtraktion, aldrig vid multiplikation.
• Att korsmultiplicera: täljare gånger motsatt nämnare hör hemma i ekvationslösning, inte här. Rakt över är regeln: täljare mot täljare, nämnare mot nämnare.
• Att förkorta korsvis fel — förkortning får bara ske mellan en täljare och en nämnare, aldrig mellan två täljare eller två nämnare.
• Att lämna svaret oförkortat: 18/30 är rätt värde men fel form.
• Att bli förvånad över att svaret krymper — produkten av två äkta bråk är alltid mindre än faktorerna, det är själva poängen med att ta en del av en del.
• Att multiplicera blandade tal direkt: 1 1/2 · 2 1/3 måste först göras om till 3/2 · 7/3.

Multiplikation av bråk introduceras i årskurs 6–7 och befästs i årskurs 8–9, ofta med areamodellen: 1/2 · 1/3 ritas som en rektangel där en halv av en tredjedel skuggas. På gymnasiet förutsätts regeln i Matematik 1, och i Matematik 2–3 multipliceras rationella uttryck med exakt samma teknik — inklusive korsvis förkortning av faktorer.

Korsvis förkortning är gymnasiets viktigaste vana från momentet: den som förkortar (x+1)/(x−2) · (x−2)/(x+3) före multiplikationen ser direkt att (x−2) tar ut sig själv. Utan vanan växer uttrycken tills de blir ohanterliga.

Casio FX-82 och andra skolräknare med bråkknapp tar multiplikationen rakt av: 2, bråkknapp, 3, gånger, 9, bråkknapp, 10, lika med — displayen visar 3/5, redan förkortat. S⇔D växlar till decimalformen 0,6.

På mobilens kalkylator ger (2÷3)×(9÷10) decimalsvaret 0,6 men aldrig bråkformen. Ett vanligt fel utan parenteser är 2÷3×9÷10, som råkar ge rätt här men går sönder så fort uttrycket blandas med addition — sätt alltid parenteser runt varje bråk.

Recept som skalas är det klassiska fallet: ett halvt recept av 3/4 dl grädde är 1/2 · 3/4 = 3/8 dl. Sannolikheter multipliceras när händelser ska inträffa i följd — chansen för två sexor i rad är 1/6 · 1/6 = 1/36. Ränta-på-ränta, skalor på ritningar och andelar av andelar i ägarstrukturer bygger alla på samma operation.

Även procenträkning är bråkmultiplikation i förklädnad: 25 % av 3/5 är 1/4 · 3/5 = 3/20. Omvandlingen mellan bråk- och procentform gör du i vår bråk till decimal-kalkylator, och förkortningen av produkten visas i detalj i förkortningskalkylatorn.

Reglerna är närmast omvända. Addition kräver gemensam nämnare men rör aldrig nämnarna i själva räknandet; multiplikation struntar i gemensam nämnare men multiplicerar båda leden rakt av. Att blanda ihop dem är det vanligaste bråkfelet överhuvudtaget.

Resultaten beter sig också olika: additionens summa är alltid större än båda termerna (för positiva bråk), medan multiplikationens produkt är mindre än båda faktorerna när bråken är äkta. En snabb rimlighetskoll på svaret avslöjar därför direkt vilket räknesätt som råkat användas — additionen steg för steg ser du i vår kalkylator för att addera bråk.