Vinkelsumma – triangel och månghörning

Formeln för vinkelsumman

Vinkelsumman är summan av alla inre vinklar i en månghörning. Den beror bara på antalet hörn $n$:

$S=(n-2)·180°$

Formeln kommer från att varje månghörning kan delas i trianglar genom att dra diagonaler från ett hörn. Det blir alltid $n-2$ trianglar, och vinkelsumman i en triangel är 180°. En fyrhörning blir två trianglar, alltså 360°. En femhörning blir tre, alltså 540°.

• Triangel: 180°
• Fyrhörning: 360°
• Femhörning: 540°
• Sexhörning: 720°
• Åttahörning: 1080°

Exempel: den saknade vinkeln i en fyrhörning

En fyrhörning har vinklarna 85°, 110° och 75°. Vinkelsumman i en fyrhörning är 360°, så den fjärde vinkeln blir 360 − 85 − 110 − 75 = 90°. Skriv in vinklarna med semikolon emellan i fältet "Vinklar du vet" så räknar kalkylatorn ut den sista. Fyller du i alla vinklar kontrollerar den i stället att summan stämmer, vilket är ett bra sätt att upptäcka mätfel.

Regelbundna månghörningar

Är alla vinklar lika stora delar du summan med antalet hörn. En regelbunden femhörning har vinklarna 108°, en sexhörning 120° och en åttahörning 135°. Den yttre vinkeln, alltså hur mycket du svänger vid varje hörn om du går runt figuren, är 360°/n. För femhörningen blir det 72°. Summan av de yttre vinklarna är alltid 360°, oavsett antal hörn. Ett helt varv kan också uttryckas som 2π radianer eller 400 gon, och omvandlaren mellan grader och radianer och gonkalkylatorn räknar om mellan måtten. Area och sidor för regelbundna månghörningar räknar månghörningskalkylatorn ut.

Praktisk användning

Vinkelsumman behövs när du kapar virke till en ram eller ett staket med många hörn. En åttakantig ram har inre vinklar på 135°. Vid varje hörn svänger ramen 45°, så skarven kapas i 22,5° på varje bräda. Kapoptimeringskalkylatorn hjälper dig planera längderna. Rör det sig om en snickrad triangel, till exempel en takstol, räknar triangellösaren ut de vinklar och sidor som saknas.

Diagonaler

Antalet diagonaler i en månghörning är $\frac{n(n-3)}{2}$. Varje hörn kan förbindas med alla andra hörn utom sig självt och sina två grannar, och varje diagonal räknas då två gånger. En femhörning har 5 diagonaler och en åttahörning 20.

Vinkelsumman i skolan – vilken kurs?

Triangelns vinkelsumma är grundskolestoff och brukar komma redan på mellanstadiet. På högstadiet utvidgas den till fyrhörningar och andra månghörningar, och formeln $(n-2)·180°$ härleds. Beviset för att triangelns vinklar alltid blir 180° är ett klassiskt exempel på geometriskt bevis och tas upp på gymnasiet i samband med satser om vinklar och parallella linjer.

Så gör du på räknaren

• Vinkelsumman: (antal hörn − 2) × 180 =. För en sexhörning: (6 − 2) × 180 = 720.
• Saknad vinkel: summan minus de kända vinklarna, 360 − 85 − 110 − 75 = 90.
• Inre vinkel i regelbunden månghörning: 720 ÷ 6 = 120.
• Ingen trigonometri behövs, så vinkelläget på räknaren spelar ingen roll här.

Fler figurer finns bland geometrikalkylatorerna och på matematiksidan.