Avståndsformeln – avstånd och mittpunkt

Avståndsformeln

Avståndet mellan punkterna $(x_1;y_1)$ och $(x_2;y_2)$ är:

$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Formeln är Pythagoras sats i koordinatsystemet. Skillnaden i x-led och skillnaden i y-led är kateterna i en rätvinklig triangel, och avståndet mellan punkterna är hypotenusan. Det spelar ingen roll vilken punkt du kallar 1 och vilken du kallar 2, eftersom skillnaderna kvadreras och blir positiva.

Mittpunktsformeln

Mittpunkten mellan två punkter är medelvärdet av x-koordinaterna och medelvärdet av y-koordinaterna:

$M=(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2})$

Exempel: från (1; 2) till (7; 10)

Skillnaden i x-led är 7 − 1 = 6 och i y-led 10 − 2 = 8. Avståndet blir $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}$ = 10. Mittpunkten blir (4; 6). Lutningen, eller k-värdet, är 8/6 ≈ 1,33, och linjen genom punkterna har ekvationen y = 1,33x + 0,67. Hur räta linjens ekvation tas fram förklaras på en egen sida.

Exempel med negativa koordinater

Punkterna är (−3; −1) och (2; 4). Skillnaden i x-led blir 2 − (−3) = 5, inte −1. Det är det vanligaste felet: minus minus blir plus. Skillnaden i y-led blir 4 − (−1) = 5. Avståndet blir $\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}$ ≈ 7,07 och mittpunkten (−0,5; 1,5).

Avstånd i verkligheten

Samma formel används när du mäter fågelvägen på en karta med ett rutnät. Läser du av koordinaterna i kartans skala och räknar ut avståndet får du avståndet på kartan, och kartskalekalkylatorn räknar om det till verkliga meter. Fågelvägen är kortare än vägen du kör, och för bränslekostnad behöver du den faktiska körsträckan i kalkylatorn för resans bränslekostnad.

I tre dimensioner och med vektorer

I rummet lägger man till en tredje term: $d=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}$. Det är samma formel som för rymddiagonalen i ett rätblock. Med vektorer skrivs avståndet som längden av vektorn mellan punkterna, vilket vektorlängdskalkylatorn räknar ut.

Avståndsformeln i skolan – vilken kurs?

Avstånd och mittpunkt i koordinatsystem hör till gymnasiets första och andra nivå. I Gy25 ingår metoder för att beräkna sträckor i koordinatsystem på nivå 1c, och Pythagoras sats med beräkningar i koordinatsystem på andra nivån, till exempel 2c. Formeln brukar komma i samma avsnitt som räta linjens ekvation och skärningspunkter mellan linjer.

Så gör du på räknaren

• Casio fx-82 eller fx-991: √( (7 − 1) x² + (10 − 2) x² ) =. Glöm inte parenteserna runt varje skillnad.
• TI-30 eller TI-84: 2nd x² öppnar roten, skriv (7−1)² + (10−2)², stäng och tryck Enter.
• Med negativa tal: använd (−)-tangenten för negativt tecken, inte minus. (2 − (−3)) x².
• I mobilens kalkylator: räkna skillnaderna först, kvadrera var för sig, lägg ihop och ta roten ur.

Fler verktyg finns bland geometrikalkylatorerna och på matematiksidan.