Rymddiagonal – diagonal genom en låda

Vad är rymddiagonalen?

Rymddiagonalen är den raka sträckan från ett hörn i en låda till det motsatta hörnet, genom lådan. Den är det längsta mått som får plats inuti ett rätblock. Formeln är Pythagoras sats i tre dimensioner:

$d=\sqrt{l^2+b^2+h^2}$

Formeln kommer av att Pythagoras sats används två gånger. Först räknas diagonalen i botten, $g=\sqrt{l^2+b^2}$. Sedan bildar bottendiagonalen och höjden en ny rätvinklig triangel med rymddiagonalen som hypotenusa. Det är samma sak som avståndsformeln med en tredje koordinat.

Exempel: 3, 4 och 12

En låda som är 3 · 4 · 12 cm har bottendiagonalen 5 cm och rymddiagonalen $\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}$ = 13 cm. Lådor där både kanterna och diagonalen blir heltal är ovanliga men finns i oändligt antal, till exempel 1-2-2 med diagonalen 3 och 2-3-6 med diagonalen 7. Rymddiagonalen lutar 67,38° mot botten.

Får det plats?

Det praktiska skälet att räkna rymddiagonalen är att se om något långt får plats. En kartong på 120 · 80 · 60 cm rymmer en stång på upp till 156,2 cm snett genom lådan, fast bottnen bara är 120 cm lång. En släpkärra med flaket 1,8 · 1,2 meter och 0,9 meters höjd tar en 2,34 meter lång bräda lutad från hörn till hörn, men tänk på att lasten måste sitta säkert. Hur mycket kärran får lasta räknar lastviktskalkylatorn ut.

Kom ihåg att det handlar om tunna föremål. Ett tjockt föremål får inte plats ända ut i hörnen, så i praktiken blir den användbara längden något kortare.

Kuben

I en kub med sidan $s$ förenklas formeln till $d=s\sqrt{3}$ ≈ 1,732 · s. En kub med sidan en meter har rymddiagonalen 1,73 meter. Längden av en vektor i rummet räknas på samma sätt, se vektorlängdskalkylatorn.

Rymddiagonalen i skolan

Rymddiagonalen är en klassisk tillämpning av Pythagoras sats på högstadiet, eftersom den kräver att satsen används två gånger. Vinkeln mot botten räknas med tangens på gymnasiet.

Så gör du på räknaren

• Allt i ett steg: √(3 x² + 4 x² + 12 x²) = ger 13.
• Bottendiagonalen först: √(3 x² + 4 x²) = 5. Sedan √(5 x² + 12 x²) = 13.
• Vinkeln: SHIFT tan (12 ÷ 5) = med räknaren i grader.

Fler kroppar finns bland kalkylatorerna för volym och ytarea och på matematiksidan.