Grader till radianer – omvandla vinklar

Vad är en radian?

Grader är en gammal och praktisk indelning: ett helt varv delas i 360 lika delar. Talet 360 anses vara valt för att det går att dela med många tal, men det har ingen koppling till cirkeln i sig. En radian är i stället definierad utifrån cirkeln själv. Vinkeln är en radian när bågen den spänner upp är lika lång som radien.

På en cirkel med radien 1, enhetscirkeln, blir det ännu enklare: vinkeln i radianer är exakt lika med längden på bågen. Ett helt varv är omkretsen $2\pi r$, och med $r=1$ blir det $2\pi$. Alltså är 360° lika med $2\pi$ radianer och 180° lika med $\pi$ radianer. Det är hela grunden för omvandlingen.

Formlerna för omvandling

Eftersom $180°=\pi$ rad räcker det med en enda proportion. Dela båda sidor med 180 så får du värdet av en grad, dela med $\pi$ så får du värdet av en radian:

• Grader till radianer: $v_{\mathrm{rad}}=v_{\mathrm{grader}}·\frac{\pi }{180}$
• Radianer till grader: $v_{\mathrm{grader}}=v_{\mathrm{rad}}·\frac{180}{\pi }$
• En grad är $\frac{\pi }{180}\approx \mathrm{0,017453}$ rad, och en radian är ungefär 57,3°.
• Gon: ett varv är 400 gon, så en gon är 0,9°. Varv: dela antalet grader med 360.

En bra kontroll är att tänka på storleksordningen. En radian är drygt 57°, alltså lite mindre än en sjättedel av ett varv. Ett helt varv rymmer drygt sex radianer, närmare bestämt $2\pi \approx \mathrm{6,28}$.

Exempel: 60° till radianer

Multiplicera 60 med $\frac{\pi }{180}$. Förkorta bråket: $\frac{60}{180}=\frac{1}{3}$, så svaret blir exakt π/3 rad. Som decimaltal är det ungefär 1,0472 rad. På samma sätt blir 60° lika med 66,67 gon och 0,1667 varv. Kalkylatorn hittar bråket automatiskt, så du ser både det exakta svaret och närmevärdet.

Exempel: 3π/4 och 225°

Står vinkeln skriven som $\frac{3\pi }{4}$ ersätter du $\pi$ med 180°: $\frac{3·180°}{4}=135°$. I kalkylatorn väljer du "Gånger π" och skriver 0,75. Åt andra hållet blir 225° lika med $225·\frac{\pi }{180}=5\pi /4$, ungefär 3,927 rad. Det är en vinkel i tredje kvadranten, och den motsvarar 250 gon.

Ett vinkelmått utan π, till exempel 2 rad, blir 114,59°. Då finns inget enkelt bråk av π, och kalkylatorn visar i stället ett närmevärde, ≈ 0,64π.

Negativa vinklar och mer än ett varv

Omvandlingen fungerar likadant för alla vinklar. En negativ vinkel mäts medurs, så −90° blir $-\frac{\pi }{2}$ rad. En vinkel större än ett varv, till exempel 720°, blir $4\pi$, alltså två hela varv. När man löser trigonometriska ekvationer dyker sådana vinklar upp ofta, eftersom lösningarna upprepas med perioden $2\pi$. Därför skriver man svar som $v=\frac{\pi }{6}+n·2\pi$, där n är ett heltal.

Vanliga fel

• Räknaren står i fel läge. Står den i DEG och du skriver sin(π/2) räknar den sinus för 1,57 grader, inte för 90°. Kontrollera alltid DEG eller RAD innan du räknar.
• Bråket vänds. Ska du till radianer multiplicerar du med π/180, inte med 180/π. Fråga dig om svaret ska bli större eller mindre: radiantalet är alltid mindre än gradtalet till beloppet.
• π skrivs som 3,14 för tidigt. Behåll π i uträkningen så länge det går och avrunda först i slutet, annars blir svaret onödigt osäkert.
• Gon blandas ihop med grader. 100 gon är en rät vinkel, inte 100°. Se mer i gonkalkylatorn.

Typiska uppgifter på prov

En vanlig uppgift är att ange en vinkel exakt i radianer, till exempel "skriv 150° i radianer". Lösningsgången är att skriva $150·\frac{\pi }{180}$ och förkorta: dela täljare och nämnare med 30 så blir det $\frac{5\pi }{6}$. Uppgiften kan också gå åt andra hållet, "hur många grader är $\frac{7\pi }{6}$?", och då ersätter du $\pi$ med 180 och får 210°.

Det lönar sig att kunna standardvinklarna utantill, eftersom de återkommer hela tiden i sinus, cosinus och tangens: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π och 360° = 2π. Andra vinklar kan du bygga av dem, till exempel 135° = 3 · 45° = 3π/4.

Varför används radianer?

I vardagen är grader enklast, men i de senare gymnasiekurserna och på högskolan används oftast radianer. Skälet är att formlerna blir enklare. Båglängden blir $b=r·v$ utan något extra bråk, vilket båglängdskalkylatorn visar. Arean av en cirkelsektor blir $\frac{r^{2}v}{2}$. Och när man deriverar trigonometriska funktioner gäller sambandet att derivatan av sinus är cosinus bara om vinkeln är i radianer. I grader skulle varje sådan formel få en extra faktor $\frac{\pi }{180}$.

Grader, minuter och sekunder

I navigering, astronomi och på kartor delas en grad i 60 bågminuter och varje minut i 60 bågsekunder, precis som timmar. Kalkylatorn visar vinkeln på det sättet också. En radian är till exempel 57° 17′ 44,81″. Omvandlingen gör du genom att ta decimaldelen av graderna gånger 60 för att få minuter, och sedan decimaldelen av minuterna gånger 60 för sekunder. Klocktid och tidsskillnader räknar tidszonskalkylatorn ut, och där motsvarar 15 längdgrader en timme.

Så gör du på räknaren

• Grader till radianer: skriv 60 × π ÷ 180 =.
• Radianer till grader: skriv 1 × 180 ÷ π =.
• Många räknare har en DRG-funktion som byter läge och kan räkna om en inmatad vinkel. Var den finns skiljer sig mellan modeller, så kolla i räknarens manual.
• Använd ° ′ ″-knappen för att växla mellan decimalgrader och grader, minuter och sekunder.

Vinklar i polygoner räknar vinkelsummakalkylatorn ut, och andra måttenheter finns i enhetsomvandlaren. Fler kalkylatorer finns bland trigonometrikalkylatorerna och på matematiksidan.