Cosinussatsen – räkna ut sida eller vinkel

Vad säger cosinussatsen?

Cosinussatsen gäller i alla trianglar och kopplar ihop de tre sidorna med en av vinklarna:

$a^2=b^2+c^2-2\mathrm{bc}·\cos A$

Vinkeln $A$ ligger mellan sidorna $b$ och $c$, och $a$ är sidan mittemot. Satsen kan skrivas på tre sätt, ett för varje vinkel, genom att byta bokstäver. Löser du ut vinkeln får du formen som används när alla sidor är kända:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\mathrm{bc}}$

Pythagoras sats med ett korrektionsled

Om vinkeln $A$ är 90° är $\cos A$ = 0, och då försvinner sista termen. Kvar blir $a^2=b^2+c^2$, alltså Pythagoras sats. Cosinussatsen är därför en generalisering av Pythagoras. Med $b$ = 3, $c$ = 4 och 90° ger den mycket riktigt $a$ = 5.

Termen $-2\mathrm{bc}·\cos A$ justerar för att vinkeln inte är rät. Är vinkeln spetsig är cosinus positiv och den tredje sidan blir kortare än hypotenusan skulle ha varit. Är vinkeln trubbig är cosinus negativ, minus gånger minus blir plus, och sidan blir längre. Dessutom ger cosinussatsen alltid rätt vinkel, eftersom arccos ger värden mellan 0° och 180°, och ett negativt cosinusvärde betyder att vinkeln är trubbig.

Varför stämmer cosinussatsen?

Lägg hörnet $A$ i origo och sidan $c$ längs x-axeln, så hamnar hörnet $B$ i punkten $(c,0)$. Hörnet $C$ ligger på avståndet $b$ från origo i vinkeln $A$, alltså i punkten $(b·\cos A,b·\sin A)$. Avståndet mellan $B$ och $C$ är sidan $a$, och avståndsformeln ger $a^2=(b·\cos A-c{)}^2+(b·\sin A{)}^2$. Utvecklar du kvadraten och använder att ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ blir det precis $b^2+c^2-2\mathrm{bc}·\cos A$. Samma uttryck dyker upp i vektorräkning, där $2\mathrm{bc}·\cos A$ motsvaras av två gånger skalärprodukten av vektorerna längs sidorna.

Exempel 1: tredje sidan

Sidorna 5 cm och 8 cm möts i vinkeln 60°. Eftersom $\cos 60°$ = 0,5 blir $a^2=25+64-2·5·8·\mathrm{0,5}=49$, och $a$ = 7 cm. De två andra vinklarna blir 38,21° och 81,79°, arean 17,32 cm² och omkretsen 20 cm.

Exempel 2: trubbig vinkel

Sidorna 3 och 5 möts i vinkeln 120°. Nu är $\cos 120°$ = −0,5, så $a^2=9+25-2·3·5·(-\mathrm{0,5})=9+25+15=49$ och $a$ = 7. Teckenfelet här är det vanligaste felet med cosinussatsen. Glömmer man att cosinus är negativ blir svaret roten ur 19 i stället, vilket är för kort.

Exempel 3: en vinkel ur tre sidor

En triangel har sidorna 7, 5 och 8. Vinkeln mittemot sidan 7 är $\cos A=\frac{25+64-49}{2·5·8}=\mathrm{0,5}$, alltså $A$ = 60°. Övriga vinklar blir 38,21° och 81,79°. Börja gärna med den största vinkeln, mittemot den längsta sidan. Då vet du direkt om triangeln är trubbvinklig, och de två andra vinklarna måste vara spetsiga. För dem går det sedan bra att använda sinussatsen, eftersom det inte finns någon risk för två lösningar.

Vanliga fel

• Fel vinkel. Vinkeln i formeln ska ligga mellan de två kända sidorna, mittemot den sökta.
• Glömt att cosinus är negativ för vinklar över 90°.
• Glömt att dra roten ur. Formeln ger $a^2$, inte $a$.
• Fel inmatningsordning. Skriv hela uttrycket med parenteser, eller räkna $2\mathrm{bc}·\cos A$ separat först.
• Räknaren står i radianer i stället för grader.
• Sidorna går inte ihop. Den längsta sidan måste vara kortare än summan av de två andra.

Kontrollera att svaret är rimligt

Det finns några snabba kontroller som fångar de flesta fel. Den tredje sidan måste ligga mellan skillnaden och summan av de två kända sidorna, i första exemplet alltså mellan 3 och 13 cm. Vid en vinkel under 90° ska den bli kortare än $\sqrt{b^2+c^2}$, vid en vinkel över 90° längre. Vid exakt 60° och lika långa sidor blir triangeln liksidig. När du räknat ut en vinkel ur tre sidor ska den största vinkeln stå mittemot den längsta sidan. Och när alla tre vinklar är framräknade ska summan bli 180°, med en liten avvikelse om du har avrundat i mellanleden.

Typiska provuppgifter

Ofta ges en skiss där två sidor och vinkeln mellan dem är kända, och den tredje sidan efterfrågas. Det är ett direkt insättningsfall. En annan typ ger tre sidor och frågar efter den största vinkeln, eller om triangeln är trubbvinklig. Svårare uppgifter använder cosinussatsen i ett mellansteg: först räknas en diagonal i en fyrhörning ut, sedan används den i en annan triangel. Vill du lösa hela triangeln på en gång finns triangellösaren, och bara arean ger areasatsen.

Tillämpningar

En båt kör 12 km rakt fram, svänger och kör 8 km till. Svängen gör att vinkeln mellan sträckorna vid vändpunkten blir 140°. Avståndet fågelvägen tillbaka till starten är tredje sidan i en triangel med två sidor och mellanliggande vinkel: $\sqrt{{12}^2+8^2-2·12·8·\cos 140°}$ ≈ 18,84 km. Samma räkning fungerar för sträckor du mätt på en karta, efter omräkning med kartskalan.

I byggsammanhang används cosinussatsen för att kontrollera vinklar. Har ett trekantigt gavelparti sidorna 6,2 m och 5,1 m upp mot nocken och basen 9,4 m, blir nockvinkeln 112,22°. Inom vektorräkning ger samma samband vinkeln mellan två vektorer.

Så gör du på räknaren

• Ställ räknaren i grader (DEG).
• Sida: √(5² + 8² − 2 × 5 × 8 × cos(60)) =.
• Vinkel: SHIFT cos((5² + 8² − 7²) ÷ (2 × 5 × 8)) =.
• Parenteserna runt hela täljaren och nämnaren är avgörande, annars delar räknaren bara sista termen.

Grundmått för trianglar finns i triangelkalkylatorn. Alla verktyg för vinklar och trianglar finns bland trigonometrikalkylatorerna och resten av matten på matematiksidan.