Linjär regression

Vad är linjär regression?

Linjär regression anpassar en rät linje, $y=\mathrm{kx}+m$, till en samling datapunkter. Linjen beskriver hur y i genomsnitt förändras när x ökar, och den kan användas för att förutsäga y för nya värden på x. Det är samma sak som en trendlinje i ett kalkylprogram.

I exemplet i kalkylatorn är x antalet studietimmar och y provpoängen för åtta personer. Linjen blir y = 2,8617x + 39,947. Lutningen 2,8617 betyder att varje extra studietimme i genomsnitt hör ihop med cirka 2,9 poäng till. Med 9 timmar förutsäger linjen 65,7 poäng.

Minsta kvadratmetoden

Ingen rät linje går exakt genom alla punkter i verkliga data. Avståndet i y-led mellan en punkt och linjen kallas residual. Minsta kvadratmetoden väljer den linje som gör summan av residualernas kvadrater så liten som möjligt. Kvadreringen gör att stora avvikelser väger tyngre och att positiva och negativa avvikelser inte tar ut varandra.

Lösningen blir:

• Lutning: $k=\frac{S_{\mathrm{xy}}}{S_{\mathrm{xx}}}$, där $S_{\mathrm{xy}}$ är summan av produkterna av x- och y-värdenas avvikelser från sina medelvärden, och $S_{\mathrm{xx}}$ summan av x-avvikelsernas kvadrater.
• Skärning: m är medelvärdet av y minus k gånger medelvärdet av x, eftersom linjen alltid går genom punkten med medelvärdena.

Om punkterna ligger exakt på en linje hittar metoden just den. För $(1;-1)$, $(2;1)$, $(3;3)$ och $(4;5)$ blir det y = 2x − 3 med förklaringsgraden 100,0 %. Hur man räknar lutning och skärning för en linje genom två punkter visar k-värdeskalkylatorn.

Räknat exempel steg för steg

Ta studieexemplet med åtta par. Medelvärdet av x är 7,75 timmar och medelvärdet av y 62,125 poäng. Summan av produkterna av avvikelserna blir 336,25 och summan av x-avvikelsernas kvadrater 117,5. Lutningen är då $k=\mathrm{336,25}/\mathrm{117,5}\approx \mathrm{2,8617}$. Skärningen blir $m=\mathrm{62,125}-\mathrm{2,8617}·\mathrm{7,75}\approx \mathrm{39,947}$. Det ger linjen y = 2,8617x + 39,947.

Kontrollera alltid att svaret är rimligt. Linjen ska gå genom punkten med medelvärdena, och lutningen ska ha samma tecken som sambandet du ser i diagrammet. Ett negativt k när punkterna tydligt stiger tyder på att x och y har blandats ihop eller att något värde är felskrivet.

Tillämpningar

Regression används för att beskriva och förutsäga samband: kostnad mot producerad mängd, bränsleförbrukning mot hastighet, eller hur en storhet har förändrats över tid. När x är årtal blir lutningen den genomsnittliga ökningen per år. Ska förändringen i stället uttryckas i procent per år passar kalkylatorn för procentuell förändring bättre, och för penningvärde över tid finns inflationskalkylatorn.

Residualernas spridning säger hur långt från linjen punkterna brukar ligga. Det är standardavvikelsen för residualerna, och den räknas på samma sätt som i standardavvikelsekalkylatorn men med n − 2 i nämnaren, eftersom två storheter, k och m, skattats ur samma data.

Förklaringsgrad R²

R² anger hur stor del av variationen i y som linjen förklarar. Den räknas som $R^2=1-\frac{\mathrm{SSE}}{S_{\mathrm{yy}}}$, där SSE är summan av kvadrerade residualer och $S_{\mathrm{yy}}$ den totala variationen kring medelvärdet. I studieexemplet är R² 98,7 %. 100 % betyder att alla punkter ligger på linjen, 0 % att linjen inte förklarar något mer än medelvärdet gör.

För enkel linjär regression är R² lika med kvadraten på korrelationskoefficienten. Hur starkt sambandet är, och om det kan vara slump, visar korrelationskalkylatorn.

Residualerna avslöjar om linjen passar

Tabellen visar varje punkt, linjens värde ŷ och residualen y − ŷ. Om residualerna är slumpmässigt utspridda kring 0 passar en rät linje bra. Om de först är positiva, sedan negativa och sedan positiva igen är sambandet troligen böjt, och då kan en annan modell passa bättre, till exempel exponentiell tillväxt. Om en enda residual är mycket större än de andra kan den punkten vara ett mätfel som drar linjen fel.

Prognoser och extrapolering

Linjen kan användas för att förutsäga y för ett nytt x. Ett exempel: ett värde som har ökat från 310 till 384 på sex år ger linjen y = 14,857(x − 2020) + 309,86. När x är årtal skriver kalkylatorn linjen kring det första året, eftersom en vanlig skärning med y-axeln skulle gälla år 0 och bli ett stort tal som måste avrundas mycket noggrant för att ge rätt prognos. Prognosen för 2026 blir 399, ett år efter sista mätningen.

Prognoser utanför de x-värden man mätt kallas extrapolering och är riskabla. Linjen säger ingenting om vad som händer utanför data. I studieexemplet ger 30 studietimmar prognosen 125,8 (utanför data), över maxpoängen 100. Kalkylatorn markerar därför prognoser utanför datans intervall. Att ett samband varit linjärt hittills betyder inte att det fortsätter vara det, vilket är särskilt viktigt vid exponentiell tillväxt.

Regression är inte kausalitet

En regressionslinje beskriver ett samband, inte en orsak. Att provpoängen ökar med studietimmarna i data betyder inte automatiskt att fler timmar orsakar högre poäng, även om det är rimligt här. Elever som studerar mer kan också ha andra egenskaper som påverkar resultatet. Tolka därför lutningen som "hör ihop med", inte "leder till", om inte data kommer från ett kontrollerat experiment.

Vanliga fel

• Att byta plats på x och y. Regressionen av y på x är inte samma linje som regressionen av x på y.
• Att lita på prognoser långt utanför data.
• Att bara titta på R² och inte på diagrammet. Ett högt R² kan dölja ett böjt samband eller en avvikande punkt.
• Att använda regression med väldigt få punkter. Med två punkter går linjen alltid exakt igenom båda och R² blir 100 %.

Fler verktyg

Var två linjer skär varandra räknar skärningspunktskalkylatorn ut. Medelvärdena som linjen går genom räknas i medelvärdeskalkylatorn. Alla statistikverktyg finns bland statistikkalkylatorerna, och övriga områden på matematiksidan.