Talserie

Vad är en talserie?

En talföljd är en uppräkning av tal, till exempel 1, 2, 3, 4. Lägger man ihop talen får man en talserie: 1 + 2 + 3 + 4. Summan av en talserie skrivs ofta med summatecknet Σ, den grekiska bokstaven sigma. Under tecknet står var räkningen börjar och över det var den slutar.

${\Sigma }_{k=1}^{100}k=1+2+3+\dots +100$

Bokstaven k kallas summationsindex. Den går från 1 till 100, och för varje värde räknas termen ut och läggs till summan. Svaret här är 5 050. I kalkylatorn skriver du termen som ett uttryck i k, till exempel k^2, 2k − 1 eller 1/k. Du kan också använda n eller i som bokstav.

Kända summor med formler

Några summor är så vanliga att det finns färdiga formler. Kalkylatorn visar formeln när summan börjar på k = 1.

• Summan av de n första heltalen: $\frac{n(n+1)}{2}$. Med n = 100 blir det 5 050.
• Summan av de n första kvadraterna: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Med n = 10 blir det 385.
• Summan av de n första kuberna: $(\frac{n(n+1)}{2}{)}^2$. Med n = 10 blir det 3 025, alltså kvadraten på 55.
• Summan av de n första udda talen: $n^2$. De 50 första udda talen summerar till 2 500.

Formeln för heltalen kan förklaras med ett gammalt knep. Skriv summan framlänges och baklänges under varandra: 1 + 2 + … + 100 och 100 + 99 + … + 1. Varje par blir 101, och det finns 100 par. Det blir 10 100, vilket är dubbla summan. Hälften är 5 050.

Aritmetiska och geometriska serier

När termerna ökar med samma tal varje gång är serien aritmetisk. När de multipliceras med samma tal är den geometrisk. För de vanligaste fallen, där du vet första termen och differensen eller kvoten, räknar kalkylatorn för talföljd ut både term nummer n och summan. Här kan du i stället skriva vilket uttryck som helst, till exempel 3k + 2 eller 2^k.

Oändlig geometrisk serie

En geometrisk serie kan fortsätta i all oändlighet. Om kvoten q ligger mellan −1 och 1 blir termerna mindre och mindre, och summan närmar sig ett bestämt tal:

$S=\frac{a}{1-q}$

Serien 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + … har summan 1 / (1 − 0,5) = 2. Ett vardagligt sätt att se det: gå halva vägen mot en vägg, sedan halva den återstående vägen, och så vidare. Du kommer aldrig fram, men den totala sträckan är exakt hela avståndet. Med a = 3 och q = −0,5 växlar termerna tecken: 3 − 1,5 + 0,75 − … och summan blir 2.

Om q är 1 eller större växer summan utan gräns, och om q är −1 eller mindre hoppar den fram och tillbaka. Då säger man att serien inte konvergerar, och någon summa finns inte.

Den harmoniska serien

Serien 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … kallas den harmoniska serien. Termerna blir mindre och mindre, men summan växer ändå utan gräns, fast mycket långsamt. De tio första termerna ger ungefär 2,929. Det visar att det inte räcker att termerna går mot noll för att en oändlig serie ska ha en summa.

Produkt med Π

På samma sätt som Σ betyder summa betyder Π, stora pi, produkt. Π med k från 1 till 10 av k är 1 · 2 · 3 · … · 10 = 3 628 800. Den produkten kallas 10-fakultet och skrivs 10!. Fler sådana räkningar finns i fakultetskalkylatorn. Produkter växer mycket fort, och kalkylatorn visar mycket stora svar i grundpotensform, som kalkylatorn för grundpotensform förklarar.

Talserier i vardagen

Talserier dyker upp oftare än man tror. Sparar du samma belopp varje månad med ränta blir slutsumman en geometrisk serie, där varje insättning har vuxit olika länge. Det är precis det ränta-på-ränta-kalkylatorn räknar ut. Ett lån med lika stora betalningar bygger på samma sorts summa. Vill du veta vilken genomsnittlig procentuell förändring en följd av ökningar motsvarar används i stället geometriskt medelvärde.

Även naturen har sina talserier. I Fibonaccis talföljd är varje tal summan av de två föregående, och summan av de n första Fibonaccitalen är alltid ett mindre än Fibonaccital nummer n + 2. De första fem, 1 + 1 + 2 + 3 + 5, ger 12, och det sjunde talet är 13.

Vanliga fel

• Att räkna fel antal termer. Från k = 1 till 100 är det 100 termer, men från k = 0 till 100 är det 101.
• Att glömma att termen räknas för varje k. Σ av 2 från 1 till 10 är 20, inte 2.
• Att använda formeln för oändlig serie när |q| ≥ 1.
• Att dela med noll, till exempel 1/k med start på k = 0. Kalkylatorn varnar då.

Så gör du på räknaren

Många grafräknare har en summafunktion där man anger uttryck, variabel, startvärde och slutvärde. På en enkel räknare använder man formlerna ovan i stället. För medelvärdet av en talserie delar du summan med antalet termer: medelvärdet av 1 till 100 är 5 050 / 100 = 50,5.

Fler verktyg finns bland statistikkalkylatorerna och på matematiksidan.