Vad är geometriskt medelvärde?
Det vanliga medelvärdet lägger ihop talen och delar med antalet. Det geometriska medelvärdet multiplicerar talen och tar roten ur produkten, med lika många rötter som det finns tal. För tre tal är det tredje roten:
Talen 2, 8 och 4 ger produkten 64, och tredje roten ur 64 är 4. Det vanliga medelvärdet är 4,67. Talen 1 och 100 har det geometriska medelvärdet 10, eftersom 10 · 10 = 1 · 100. Geometriskt medelvärde fungerar bara för tal som är större än noll.
Genomsnittlig förändring i procent
Den vanligaste användningen är att räkna ut en genomsnittlig procentuell förändring när något växer eller minskar flera perioder i rad. Det kan vara avkastning år för år, befolkningstillväxt eller prisökningar. Varje förändring görs om till en förändringsfaktor: +12 % blir 1,12 och −5 % blir 0,95. Faktorerna multipliceras, och det geometriska medelvärdet av dem är den genomsnittliga faktorn.
Kalkylatorns förval är +12 %, −5 %, +8 %, +20 % och −10 %. Faktorerna multiplicerade blir ungefär 1,241, alltså en total ökning med 24,1 %. Femte roten ur 1,241 är ungefär 1,0441, så den genomsnittliga förändringen är 4,41 % per år.
Om man i stället räknar medelvärdet av procentsatserna får man 5 %. Det ser rimligt ut men är fel: 100 kr som växer med 5 % per år i fem år blir ungefär 127,63 kr, inte 124,10 kr som det verkligen blev. Bara den geometriska förändringen ger rätt slutvärde.
Varför vanligt medelvärde ger fel
Ett tydligt exempel är +50 % följt av −50 %. Medelvärdet av procentsatserna är 0 %, men 100 kr blir 150 kr och sedan 75 kr. Totalt har värdet minskat med 25 %. Det geometriska medelvärdet ger −13,4 % per period, och två sådana perioder ger mycket riktigt −25 %. Procentuella förändringar räknas på olika baser, och därför kan man inte lägga ihop dem rakt av. Samma princip finns i procent av procent.
Från startvärde och slutvärde
Vet du bara värdet i början och i slutet räcker det. Dela slutvärdet med startvärdet och ta roten med antalet perioder. 100 000 kr som blivit 150 000 kr på 5 år ger 1,5 upphöjt till 1/5, ungefär 1,0845, alltså 8,45 % per år. Det kallas ibland årlig tillväxttakt eller CAGR. Den totala förändringen är 50 %, men delat med fem blir det 10 % per år, och det överskattar tillväxten.
Det fungerar även när värdet minskar. 200 som blir 100 på tre perioder ger −20,63 % per period, inte −16,67 %. Vill du räkna framåt med en fast procentsats används ränta-på-ränta-kalkylatorn, och för en enda förändring procentuell förändring.
Var används det?
- Avkastning på fonder och aktier över flera år. Se även avkastningskalkylatorn.
- Prisökning och inflation över en längre period.
- Tillväxt i försäljning, befolkning eller antal användare.
- Biologisk och exponentiell tillväxt, där något ökar med en andel per tidsenhet.
- Medelvärde av förhållanden och index, där talen är kvoter snarare än mängder.
Typiska uppgifter
"Ett företag ökade sin omsättning med 20 % det första året och 5 % det andra. Vilken var den genomsnittliga ökningen per år?" Faktorerna är 1,2 och 1,05, produkten 1,26, och kvadratroten ur 1,26 är ungefär 1,1225. Svaret är alltså cirka 12,2 % per år, inte 12,5 % som medelvärdet av procentsatserna ger. En annan vanlig uppgift ger startvärde, slutvärde och antal år och frågar efter den årliga procentsatsen. Det är precis vad läget Start/slut räknar. Uppgifter kan också fråga hur lång tid något tar att fördubblas med en viss takt, och då passar fördubblingstidskalkylatorn.
Vanliga fel
- Att räkna medelvärdet av procentsatserna. Det ger fel slutvärde när förändringarna skiljer sig åt.
- Att dela den totala förändringen med antalet år.
- Att ta roten ur procenttalen i stället för ur förändringsfaktorerna.
- Att använda geometriskt medelvärde på tal som kan vara noll eller negativa. Det fungerar inte.
Geometriskt, aritmetiskt och harmoniskt
För positiva tal gäller alltid att det geometriska medelvärdet är mindre än eller lika med det aritmetiska. De är lika bara när alla tal är lika. Ju mer talen varierar, desto större blir skillnaden, och det är ett sätt att se att variation kostar vid tillväxt. Två fonder med samma genomsnittliga årsavkastning kan ge olika slutsumma, och den som svänger mest ger minst.
Det finns också ett harmoniskt medelvärde, som används för hastigheter över lika långa sträckor. Ska talen väga olika mycket används viktat medelvärde. Hur mycket värdena sprider sig mäts med standardavvikelsen.
Så gör du på räknaren
- Gör om procentsatserna till faktorer: 1 + procent/100.
- Multiplicera alla faktorer.
- Upphöj produkten till 1/n, där n är antalet perioder. På de flesta räknare finns en knapp för potens.
- Dra bort 1 och multiplicera med 100 för att få procent.
Fler verktyg finns bland statistikkalkylatorerna och på matematiksidan.