Jämför bråk

Att jämföra bråk är att avgöra vilket av två bråk som har störst värde — är 3/4 större än 2/3? Ögat luras lätt: större siffror betyder inte större bråk, och 5/8 är faktiskt mindre än 2/3 trots att båda talen är större. Därför behövs en metod som jämför värden, inte siffror.

Den snabbaste metoden är korsmultiplikation, som slipper hela omvägen via gemensam nämnare. Kalkylatorn visar den steg för steg och räknar dessutom ut exakt hur stor skillnaden är — samma subtraktion som vår kalkylator för att subtrahera bråk gör i detalj.

För a/b och c/d med positiva nämnare gäller: a/b > c/d precis när a·d > c·b. Delarna betyder följande:

• a·d — första bråkets täljare gånger andra bråkets nämnare.
• c·b — andra bråkets täljare gånger första bråkets nämnare.
• Produkterna är täljarna bråken skulle få med den gemensamma nämnaren b·d — jämförelsen sker alltså på lika villkor.
• Är produkterna lika är bråken exakt samma tal i olika form.
• Villkoret positiva nämnare är viktigt — negativa nämnare flyttas upp till täljaren först.

1. Uppgiften är att avgöra vilket som är störst av 3/4 och 2/3.
2. Korsmultiplicera åt ena hållet: 3 · 3 = 9.
3. Korsmultiplicera åt andra hållet: 2 · 4 = 8.
4. Jämför produkterna: 9 > 8.
5. Alltså är 3/4 > 2/3. Skillnaden är 9/12 − 8/12 = 1/12.

Håll ordning på riktningen: produkten 9 hör till bråket vars täljare ingick, alltså 3/4. Ett minnesknep är att dra pilarna snett uppåt — varje produkt landar hos det bråk vars täljare den startade i.

Jämför 3/4 och 9/12. Korsmultiplikationen ger 3 · 12 = 36 och 9 · 4 = 36 — produkterna är lika, så bråken är exakt samma tal. 9/12 är bara 3/4 förlängt med 3, och i decimalform är båda 0,75.

Det är jämförelsens dolda nytta: den avslöjar förklädda dubbletter. Två bråk kan se helt olika ut och ändå vara identiska — förlängning och förkortning ändrar formen men aldrig värdet.

• Att jämföra siffrorna i stället för värdena: 5/8 har större tal än 2/3 men är det mindre bråket.
• Att tro att större nämnare betyder större bråk — det är tvärtom när täljarna är lika: 1/8 är mindre än 1/4.
• Att blanda ihop vems produkt som är vems i korsmultiplikationen och dra fel slutsats åt rätt håll.
• Att korsmultiplicera med negativ nämnare utan att först flytta upp tecknet — då vänds olikheten felaktigt.
• Att avrunda decimalformerna för hårt: 7/11 och 9/14 skiljer sig först på tredje decimalen.
• Att glömma att negativa bråk vänder intuitionen: −3/4 är mindre än −2/3, fast 3/4 är större än 2/3.

Att storleksordna bråk är centralt innehåll i årskurs 4–6, där jämförelsen görs med bilder och gemensam nämnare. Korsmultiplikation som metod kommer i årskurs 7–9, och på gymnasiet förutsätts säker jämförelse i Matematik 1 — ofta i uppgifter där bråk, decimaltal och procent ska ordnas i samma serie.

Metoden återkommer förklädd i Matematik 2–3 när olikheter med rationella uttryck löses: samma korsmultiplikation, men med regeln att olikhetstecknet vänds vid multiplikation med negativa tal — exakt den fälla som sifferexemplen tränar bort.

Räknaren jämför via decimalform: slå 3 ÷ 4 = 0,75 och 2 ÷ 3 = 0,6667 och jämför själv. Casio FX-82 med bråkläge kan också subtrahera bråken direkt — 3/4 − 2/3 = 1/12 — där ett positivt svar betyder att det första bråket är störst.

Var vaksam på avrundningen vid jämna lopp: 0,6666666667 och 0,6666666666 kan vara räknarnas versioner av två olika bråk som skiljer sig långt ut i decimalerna. Korsmultiplikationen jämför exakt med heltal och är därför säkrare än decimalvägen när bråken ligger nära varandra.

Bäst andel vinner-frågor är jämförelser: 7 mål på 9 straffar mot 5 på 6 — vem är vassast? Korsmultiplikationen 7 · 6 = 42 mot 5 · 9 = 45 avgör: 5/6 slår 7/9. Recept, byggmått i tum och medicindoser per kilo kroppsvikt jämförs på samma sätt, liksom priser per enhet i butiken.

Vill du se andelen på procentskalan i stället — där jämförelsen blir omedelbar för ögat — omvandlar vår bråk till procent-kalkylator båda bråken, och decimalvägen förklaras i bråk till decimal-kalkylatorn.

Metoderna är samma sak i olika förpackning. Gemensam nämnare skriver om bråken till 9/12 och 8/12 och jämför täljarna; korsmultiplikationen räknar ut exakt de täljarna — 9 och 8 — utan att skriva ut nämnaren. Korsvägen är snabbare, nämnarvägen tydligare.

Välj efter behov: ska du bara veta vilket bråk som är störst räcker korsen; ska du också räkna vidare med bråken är den gemensamma nämnaren ändå nödvändig och kan lika gärna tas fram direkt via vår MGN-kalkylator.