Vektorlängd

Skriv in vektorns koordinater, eller två punkter, så räknas längden ut med Pythagoras sats. Svaret visas både exakt, till exempel √2, och avrundat, tillsammans med enhetsvektorn och uträkningen steg för steg.

Gratis att användaIngen registreringUppdaterad 2026

Vad har du?

En vektor eller två punkter

Dimension

I planet har en vektor två koordinater, i rummet tre.

Jag har

Med två punkter räknas vektorn AB = B − A först, och dess längd är avståndet mellan punkterna.

Koordinater

Heltal eller decimaltal

Vektorns x-koordinat.

Vektorns y-koordinat.

Beräkningen är en vägledande uppskattning baserad på de uppgifter du anger. Resultatet kan skilja sig från verkligt utfall beroende på individuella förutsättningar, lokala regler, priser, materialval och andra omständigheter. Kontrollera alltid viktiga uppgifter innan du fattar beslut eller påbörjar ett arbete.

Rapportera fel

Annons

Vad är längden av en vektor?

En vektor har både en riktning och en storlek. Storleken kallas vektorns längd eller belopp och skrivs med lodstreck, $| v |$ . Längden säger hur långt vektorn sträcker sig, oavsett åt vilket håll den pekar. Vektorn (3, 4) och vektorn (−4, 3) pekar åt olika håll men är lika långa.

Längden är alltid ett tal som är 0 eller större. Den enda vektorn med längden 0 är nollvektorn, där alla koordinater är 0. Alla andra vektorer har en positiv längd. Mer om vad man kan göra med vektorer, som att addera dem och multiplicera med tal, finns i vektorkalkylatorn.

Formeln för vektorns längd

Längden räknas med Pythagoras sats. Koordinaterna är kateterna i en rätvinklig triangel, och vektorn själv är hypotenusan:

I planet: $| v | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
I rummet: $| v | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$
Mellan två punkter A och B: räkna först AB = B − A, sedan längden av AB.

I planet är det direkt Pythagoras sats: gå x steg i sidled och y steg uppåt, så blir den raka sträckan roten ur summan av kvadraterna. I rummet används satsen två gånger. Först ger x och y diagonalen i golvplanet, sedan bildar den diagonalen och z en ny rätvinklig triangel. Det är samma resonemang som för rymddiagonalen i ett rätblock, där längd, bredd och höjd spelar rollen av koordinaterna.

Räknade exempel

Exempel 1: vektorn (3, 4)

Längden blir $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ . Det är den klassiska 3-4-5-triangeln. Enhetsvektorn, som pekar åt samma håll men har längden 1, blir (0,6; 0,8).

Exempel 2: vektorn (1, 1) och exakt svar

Här blir längden $\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ , som inte går att skriva som ett exakt decimaltal. Kalkylatorn visar därför både den exakta formen och närmevärdet: √2 ≈ 1,41. På prov där uppgiften säger "exakt svar" är det rotformen som ska anges. En rot som innehåller en kvadratfaktor förenklas, så $\sqrt{8}$ skrivs som $2 \sqrt{2}$ , eftersom 8 = 4 · 2 och roten ur 4 är 2.

Exempel 3: en vektor i rummet

Vektorn (1, 2, 2) har längden $\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ . Vektorn (2, 3, 6) har längden $\sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ .

Exempel 4: avståndet mellan två punkter

Annons

Punkterna A = (1, 2) och B = (4, 6) ger vektorn AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4). Avståndet mellan punkterna är längden av AB, alltså 5. Samma uträkning kallas ofta avståndsformeln när den skrivs direkt med punkternas koordinater.

Enhetsvektor

En enhetsvektor har längden 1. Man får den genom att dela vektorn med sin egen längd: $e = \frac{v}{| v |}$ . Den behåller riktningen men "normeras" till längden 1. Enhetsvektorer används när bara riktningen är intressant, till exempel för att ange en riktning i fysik eller datorgrafik. Vektorn (−6, 8) har längden 10, och dess enhetsvektor blir (−0,6; 0,8). Nollvektorn saknar enhetsvektor, eftersom den inte har någon riktning och man skulle dela med 0.

Vanliga fel

Att glömma att kvadrera negativa koordinater rätt. (−6)² är 36, inte −36. Längden blir aldrig negativ.
Att dra roten ur varje term för sig. $\sqrt{9 + 16}$ är 5, inte 3 + 4 = 7.
Att blanda ihop punkter och vektorer. Avståndet mellan två punkter är längden av skillnaden B − A, inte längden av B.
Att avrunda för tidigt. Räkna med den exakta summan av kvadraterna och avrunda först i sista steget.
Att glömma z-koordinaten i rummet, eller att ta med en z-koordinat som inte finns i en uppgift i planet.

Typiska uppgifter

En vanlig uppgift ger en vektor och frågar efter längden, ofta med exakt svar. Lösningen är alltid densamma: kvadrera koordinaterna, summera, dra roten och förenkla roten om det går.

En annan typ ger längden och frågar efter en okänd koordinat. Om vektorn (a, 4) ska ha längden 5 gäller $a^{2} + 16 = 25$ , alltså $a^{2} = 9$ och a = 3 eller a = −3. Glöm inte den negativa lösningen. Kalkylatorn kan användas för att kontrollera båda svaren.

En tredje typ ber om enhetsvektorn eller om en vektor med en viss längd i en given riktning. Då räknar man först enhetsvektorn och multiplicerar den med den önskade längden. Vill man ha en vektor med längden 10 i riktningen (3, 4) blir svaret 10 · (0,6; 0,8) = (6, 8). Skalärprodukten och vinkeln mellan vektorer bygger också på längden, se skalärproduktskalkylatorn.

Var används vektorlängd?

I fysik är längden av en hastighetsvektor farten och längden av en kraftvektor kraftens storlek. Går en båt 3 m/s åt öster medan strömmen drar den 4 m/s åt norr blir farten över botten 5 m/s. I navigation och kartor ger vektorlängden fågelvägen mellan två punkter. I datorgrafik och spel räknas avstånd mellan objekt hela tiden med samma formel, ofta i tre dimensioner.

Så gör du på räknaren

Skriv hela uttrycket under roten: √(3² + 4²) =. Använd parentes runt summan.
Negativa koordinater: skriv dem inom parentes innan du kvadrerar, (−6)².
Vissa räknare har ett vektorläge med en funktion för längden. Formeln ovan fungerar på alla räknare.
För enkla rötter och förenkling av rotuttryck finns rotkalkylatorn.

Fler verktyg för vektorer och matriser finns bland kalkylatorerna för matriser och vektorer och på matematiksidan.

Annons

Vanliga frågor

Hur räknar man ut längden av en vektor?

Kvadrera koordinaterna, lägg ihop dem och dra roten ur summan. Vektorn (3, 4) får längden √(9 + 16) = 5. Det är Pythagoras sats med koordinaterna som kateter.

Hur räknar man längden av en vektor i 3D?

Samma sak med en koordinat till: |v| = √(x² + y² + z²). Vektorn (1, 2, 2) har längden √9 = 3.

Hur räknar man avståndet mellan två punkter med vektorer?

Räkna vektorn AB = B − A och ta dess längd. A = (1, 2) och B = (4, 6) ger AB = (3, 4) och avståndet 5. Samma sak räknar avståndsformeln direkt med punkterna.

Vad är en enhetsvektor?

En vektor med längden 1. Den fås genom att dela vektorn med sin längd. Enhetsvektorn till (3, 4) är (0,6; 0,8).

Vad betyder |v|?

Lodstrecken betyder vektorns längd, även kallad belopp. Det är samma tecken som för absolutbelopp av tal, och idén är densamma: storleken utan hänsyn till riktning eller tecken.

Kan en vektor ha negativ längd?

Nej. Längden är en kvadratrot av en summa kvadrater och blir alltid 0 eller större. Bara nollvektorn har längden 0.

← Fler kalkylatorer inom Matriser & vektorer

Relaterade kalkylatorer

Vinkel mellan vektorer

Vinkeln mellan två vektorer i grader och radianer.

Beräkna

Kryssprodukt

Kryssprodukten u × v i 3D, med area och figur.

Beräkna

Vektorkalkylator

Räkna med vektorer i planet och rummet, med figur.

Beräkna

Matrisrang

Rangen av en matris med trappform och radoperationer.

Beräkna

Transponat

Transponatet av en matris, med symmetrikontroll och spår.

Beräkna

Invers matris

Inversen till en matris med Gauss–Jordan steg för steg.

Beräkna

Upptäck fler kalkylatorer

Permutationer – räkna ut nPr

Antal ordnade urval P(n, k), koder med upprepning och omkastningar av bokstäver i ett ord.

Öppna

Olikheter

Lös olikheter steg för steg och se när olikhetstecknet ska vändas.

Öppna

Värdeutveckling bostad

Se hur mycket din bostad ökat i värde, före och efter inflation.

Öppna

Effekttariff – räkna ut effektavgiften

Räkna ut din effektavgift och hur mycket lastbalansering skulle spara.

Öppna

Skärmtidskalkylator

Hur mycket av livet spenderar du framför en skärm? Räkna ut telefon, dator och TV i år.

Öppna

Avskrivningskalkylator

Räkna ut avskrivning på inventarier — linjär eller degressiv metod.

Öppna

Vad är längden av en vektor?

Formeln för vektorns längd

Längden räknas med Pythagoras sats. Koordinaterna är kateterna i en rätvinklig triangel, och vektorn själv är hypotenusan:

I planet: $| v | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
I rummet: $| v | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$
Mellan två punkter A och B: räkna först AB = B − A, sedan längden av AB.

Räknade exempel

Exempel 1: vektorn (3, 4)

Längden blir $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ . Det är den klassiska 3-4-5-triangeln. Enhetsvektorn, som pekar åt samma håll men har längden 1, blir (0,6; 0,8).

Exempel 2: vektorn (1, 1) och exakt svar

Exempel 3: en vektor i rummet

Vektorn (1, 2, 2) har längden $\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ . Vektorn (2, 3, 6) har längden $\sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ .

Exempel 4: avståndet mellan två punkter

Annons

Enhetsvektor

Vanliga fel

Att glömma att kvadrera negativa koordinater rätt. (−6)² är 36, inte −36. Längden blir aldrig negativ.
Att dra roten ur varje term för sig. $\sqrt{9 + 16}$ är 5, inte 3 + 4 = 7.
Att blanda ihop punkter och vektorer. Avståndet mellan två punkter är längden av skillnaden B − A, inte längden av B.
Att avrunda för tidigt. Räkna med den exakta summan av kvadraterna och avrunda först i sista steget.
Att glömma z-koordinaten i rummet, eller att ta med en z-koordinat som inte finns i en uppgift i planet.

Typiska uppgifter

En vanlig uppgift ger en vektor och frågar efter längden, ofta med exakt svar. Lösningen är alltid densamma: kvadrera koordinaterna, summera, dra roten och förenkla roten om det går.

Var används vektorlängd?

Så gör du på räknaren

Skriv hela uttrycket under roten: √(3² + 4²) =. Använd parentes runt summan.
Negativa koordinater: skriv dem inom parentes innan du kvadrerar, (−6)².
Vissa räknare har ett vektorläge med en funktion för längden. Formeln ovan fungerar på alla räknare.
För enkla rötter och förenkling av rotuttryck finns rotkalkylatorn.

Fler verktyg för vektorer och matriser finns bland kalkylatorerna för matriser och vektorer och på matematiksidan.