Vad är en vektor?
En vektor är en storhet som har både storlek och riktning. Den ritas som en pil, och pilens längd visar storleken. Två pilar som är lika långa och pekar åt samma håll är samma vektor, var de än ritas. Det skiljer en vektor från en punkt, som har en bestämd plats.
I ett koordinatsystem beskrivs en vektor med sina koordinater, till exempel (3, 1). Det betyder 3 steg i x-led och 1 steg i y-led. I rummet tillkommer en tredje koordinat för z-led. Koordinaterna gör att man kan räkna med vektorer med vanliga tal, i stället för att rita och mäta.
Räknereglerna
- Addition: lägg ihop koordinat för koordinat. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).
- Subtraktion: dra ifrån koordinat för koordinat. (a, b) − (c, d) = (a − c, b − d).
- Multiplikation med ett tal k: multiplicera varje koordinat. k · (a, b) = (ka, kb).
- Vektorn från punkten A till punkten B: B − A, slutpunkt minus startpunkt.
- Enhetsvektor: dela vektorn med sin längd så att längden blir 1.
Reglerna gäller likadant i rummet, bara med tre koordinater. Det är därför vektorer är så praktiska: samma räkneregler fungerar i alla dimensioner.
Geometrisk tolkning
Addition kan ritas på två sätt som ger samma resultat. Med triangelregeln sätter man v:s början vid u:s spets, och summan går från u:s början till v:s spets. Med parallellogramregeln låter man båda börja i samma punkt och ritar ett parallellogram. Summan är diagonalen. Figuren i kalkylatorn visar båda: de streckade linjerna är den förskjutna kopian av vektorerna.
Subtraktion u − v kan ses som u + (−v). Om u och v börjar i samma punkt går u − v från v:s spets till u:s spets. Multiplikation med ett tal förlänger eller förkortar vektorn. Med ett negativt tal vänds den dessutom åt motsatt håll.
Räknade exempel
Med u = (3, 1) och v = (1, 2) blir summan u + v = (4, 3), och dess längd är 5. Skillnaden u − v = (2, −1). Multiplicerar man u med −2 blir det (−6, −2), en vektor som är dubbelt så lång och pekar åt motsatt håll.
I rummet räknar man likadant. Med u = (3, 1, 2) och v = (1, 2, 3) blir u + v = (4, 3, 5).
Vektorn från A = (1, 1) till B = (4, 5) är AB = (4 − 1, 5 − 1) = (3, 4), och dess längd är 5. Det är också avståndet mellan punkterna, samma sak som avståndsformeln ger.
Enhetsvektorn till (3, 4) blir (0,6; 0,8), eftersom längden är 5 och man delar båda koordinaterna med 5. Längden av enhetsvektorn är 1, vilket man kan kontrollera i vektorlängdskalkylatorn.
Vanliga fel
- Fel ordning i AB. Vektorn från A till B är B − A, inte A − B. Byter man ordning pekar vektorn åt motsatt håll.
- Teckenfel vid subtraktion med negativa koordinater. 2 − (−3) är 5. Skriv ut parenteserna.
- Att bara multiplicera en av koordinaterna med k. Alla koordinater ska multipliceras.
- Att tro att längden av en summa är summan av längderna. |u + v| är oftast mindre än |u| + |v|. Bara när vektorerna pekar åt exakt samma håll blir de lika.
- Att blanda ihop punkter och vektorer. En punkt är en plats, en vektor är en förflyttning.
Typiska uppgifter
En vanlig uppgift ger två vektorer och ber om en kombination, till exempel 2u − 3v. Lös den i två steg: räkna först 2u och 3v, sedan skillnaden koordinat för koordinat. Kalkylatorn kan användas för varje delsteg.
En annan typ handlar om punkter. Givet tre hörn A, B och C i en parallellogram ska man hitta det fjärde hörnet D. Eftersom AB och DC är samma vektor gäller D = C − AB. En tredje typ frågar om tre punkter ligger på en linje. Det gör de om AB och AC är parallella, alltså om den ena är ett tal gånger den andra.
Uppgifter om vinkelräta vektorer och vinklar löses med skalärprodukten, se skalärproduktskalkylatorn och kalkylatorn för vinkel mellan vektorer. I rummet finns också kryssprodukten, som ger en vektor vinkelrät mot två andra.
Var används vektorer?
Vektorer beskriver allt som har både storlek och riktning: hastighet, kraft, vind och förflyttning. Flyger ett plan 200 km/h åt norr i en sidvind på 50 km/h åt öster blir den verkliga hastigheten summan av de två vektorerna. Går man 3 km åt öster och sedan 4 km åt norr hamnar man 5 km från starten, vilket är längden av summan. Hur mycket själva resan kostar i bränsle räknar kalkylatorn för bränslekostnad ut.
Så gör du på räknaren
- Räkna koordinat för koordinat. Skriv negativa tal inom parentes: 2 − (−3) =.
- Längden av resultatet: √(4² + 3²) =.
- Vissa räknare har ett vektorläge där man matar in vektorerna och räknar med dem direkt. Koordinatmetoden fungerar på alla räknare.
Fler verktyg finns bland kalkylatorerna för matriser och vektorer och på matematiksidan.