Matrisrang

Vad är rangen av en matris?

Rangen av en matris är antalet linjärt oberoende rader, och det är alltid samma som antalet linjärt oberoende kolumner. Linjärt oberoende betyder att ingen rad kan skrivas som en kombination av de andra. Rangen mäter alltså hur mycket ny information matrisen faktiskt innehåller. En matris med 3 rader där den tredje bara är summan av de två första har rangen 2, inte 3.

Rangen kan aldrig vara större än det minsta av antalet rader och antalet kolumner. En 3×4-matris har högst rangen 3. Nollmatrisen har rangen 0, och enhetsmatrisen av storlek 3 har rangen 3.

Så räknar man ut rangen

Det säkraste sättet är att radreducera matrisen till trappform. Radoperationer ändrar inte rangen, så man får göra dem fritt:

1. Byt plats på rader så att det står ett tal skilt från noll överst i första kolumnen som inte är helt noll.
2. Använd den raden för att göra alla tal under den till noll, genom att dra av en multipel av raden.
3. Gå vidare till nästa rad och nästa kolumn och upprepa.
4. När matrisen har trappform, räkna raderna som inte består av bara nollor. Det antalet är rangen.

Det första talet som inte är noll i varje rad kallas pivotelement, och kolumnerna där de står kallas pivotkolumner. Exempel: A = [1 2 1 3; 2 4 0 2; 3 6 1 5]. Trappformen blir [1 2 1 3; 0 0 −2 −4; 0 0 0 0], och den reducerade trappformen blir [1 2 0 1; 0 0 1 2; 0 0 0 0]. Två rader är kvar, så rangen är 2. Pivotkolumnerna är 1 och 3.

Trappform och reducerad trappform

I trappform står varje rads första tal skilt från noll längre till höger än raden ovanför, och nollraderna ligger längst ned. Det räcker för att läsa av rangen. I reducerad trappform går man ett steg längre: varje pivotelement är 1 och alla andra tal i pivotkolumnen är 0. Den reducerade trappformen är unik för varje matris, medan trappformen kan se olika ut beroende på vilka radoperationer man gör. Kalkylatorn visar båda.

Rang och ekvationssystem

Rangen avgör hur ett ekvationssystem beter sig. För det homogena systemet Ax = 0 är antalet fria variabler antalet kolumner minus rangen. I exemplet ovan har A 4 kolumner och rangen 2, så systemet får 2 fria variabler och oändligt många lösningar. För ett system Ax = b gäller att det har en lösning precis när rangen av A är lika med rangen av den utökade matrisen [A | b]. Är rangen dessutom lika med antalet obekanta är lösningen unik. Lös system steg för steg med ekvationssystemkalkylatorn.

Rang och determinant

För en kvadratisk n×n-matris har man full rang när rangen är n. Det är samma sak som att determinanten inte är 0 och att inversen finns. Matrisen [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] har rangen 2, eftersom tredje raden är två gånger den andra minus den första, och därför är determinanten 0. Det kan du kontrollera med determinantkalkylatorn, och inversen saknas i inversmatriskalkylatorn.

Rader och kolumner

Att radrangen och kolumnrangen alltid är lika är ett av de grundläggande resultaten i linjär algebra. Det betyder att rangen av en matris och rangen av dess transponat är densamma. För en matris som inte är kvadratisk kan raderna och kolumnerna ändå vara olika mycket oberoende som grupper. Matrisen [1 2; 3 4; 5 6] har rangen 2: dess två kolumner är linjärt oberoende, medan dess tre rader är linjärt beroende, eftersom tre vektorer i planet aldrig kan vara oberoende.

Linjärt oberoende vektorer

Vill du veta om några vektorer är linjärt oberoende kan du ställa upp dem som kolumner i en matris och räkna rangen. Är rangen lika med antalet vektorer är de oberoende, annars kan minst en av dem skrivas med de andra. Vektorer i sig hanterar vektorkalkylatorn.

Vanliga fel

• Att räkna alla rader i stället för bara de rader som inte blir noll i trappform.
• Att räkna fel i en radoperation så att en nollrad inte uppstår. Kontrollera gärna med reducerad trappform.
• Att tro att rangen kan bli större än antalet kolumner.
• Att glömma att en rad som är en multipel av en annan rad inte bidrar till rangen.
• Att blanda ihop antalet fria variabler med antalet nollrader. Fria variabler räknas från kolumnerna.

Typiska uppgifter

En vanlig uppgift ger en matris med en parameter och frågar för vilka värden rangen blir lägre. Radreducera med parametern kvar och se för vilket värde en rad blir noll. En annan uppgift frågar hur många lösningar ett ekvationssystem har. Räkna rangen av koefficientmatrisen och av den utökade matrisen och jämför. En tredje typ är att avgöra om några vektorer spänner upp hela rummet, vilket de gör om rangen är lika med dimensionen.

Så gör du på räknaren

Räknare med matrisläge har ofta en funktion som ger reducerad trappform, ibland kallad rref. Rangen läser du sedan av som antalet rader som inte är noll. Räknaren visar ofta decimaltal, så jämför med de exakta bråken här. Addition och multiplikation av matriser gör matriskalkylatorn. Fler verktyg finns bland kalkylatorerna för matriser och vektorer och på matematiksidan.