Matriskalkylator

Vad är en matris?

En matris är en rektangulär tabell med tal, ordnade i rader och kolumner. En matris med 2 rader och 3 kolumner kallas en 2×3-matris, och man anger alltid rader först. Talet i rad i och kolumn j skrivs $a_{\mathrm{ij}}$. Matriser används för att räkna med många tal på en gång, till exempel koefficienterna i ett ekvationssystem eller förflyttningar och rotationer av punkter i datorgrafik. I texten skriver vi matriser rad för rad inom hakparentes, med semikolon mellan raderna, så [1 2; 3 4] har första raden 1 och 2 och andra raden 3 och 4.

Addition och subtraktion

Två matriser kan bara adderas om de har exakt samma storlek. Man adderar då talen som står på samma plats: $c_{\mathrm{ij}}=a_{\mathrm{ij}}+b_{\mathrm{ij}}$. Med A = [1 2; 3 4] och B = [5 6; 7 8] blir A + B = [6 8; 10 12]. Subtraktion fungerar likadant. Ordningen spelar ingen roll vid addition, A + B är alltid samma som B + A.

Tal gånger matris

Att multiplicera en matris med ett tal, en skalär, betyder att varje tal i matrisen multipliceras med talet. 3 · [1 2; 3 4] blir [3 6; 9 12]. Det fungerar för alla storlekar.

Matrismultiplikation: rad gånger kolumn

Matrismultiplikation är inte talen gånger varandra plats för plats. Varje tal i produkten AB räknas som en rad i A gånger en kolumn i B: multiplicera talen parvis och addera.

$c_{\mathrm{ij}}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+...+a_{\mathrm{in}}{b}_{\mathrm{nj}}$

Med A = [1 2; 3 4] och B = [5 6; 7 8] blir talet längst upp till vänster $1·5+2·7=19$, och hela produkten blir [19 22; 43 50]. Kalkylatorn visar uträkningen för varje tal.

Det går bara att multiplicera A med B om A har lika många kolumner som B har rader. En 2×3-matris gånger en 3×2-matris ger en 2×2-matris. Exempel: [1 2 3; 4 5 6] gånger [7 8; 9 10; 11 12] blir [58 64; 139 154]. Passar storlekarna inte ihop säger kalkylatorn ifrån och visar båda matrisernas storlek, så att du ser vilket tal som inte stämmer.

Ordningen spelar roll

För vanliga tal är 3 · 5 samma som 5 · 3, men för matriser gäller det i allmänhet inte. Med samma matriser som ovan blir B · A = [23 34; 31 46], medan A · B = [19 22; 43 50]. Det är därför man måste vara noga med i vilken ordning matriserna står, och det är en av de vanligaste källorna till fel. Vissa par av matriser kommuterar ändå, till exempel en matris och dess egen potens eller två diagonalmatriser.

Potenser av matriser

$A^2$ betyder A · A, och $A^3$ betyder A · A · A. Potenser finns bara för kvadratiska matriser. Ett känt exempel är matrisen [1 1; 1 0]. Dess kvadrat blir [2 1; 1 1], och åttonde potensen blir [34 21; 21 13]. Talen i resultatet är fibonaccital, och mönstret fortsätter för alla potenser. Det visar hur matrispotenser kan beskriva upprepade steg, och följden finns i fibonaccikalkylatorn. Upphöjt till 0 ger enhetsmatrisen I, som har ettor på diagonalen och nollor i övrigt och fungerar som talet 1 vid multiplikation.

Räknelagar som gäller

Även om ordningen spelar roll gäller flera bekanta räknelagar. Multiplikation är associativ, så (AB)C är samma som A(BC), och därför kan man räkna en lång produkt i valfri ordning så länge matriserna står kvar på sina platser. Den distributiva lagen gäller också: A(B + C) = AB + AC. Enhetsmatrisen I fungerar som talet 1, eftersom AI = IA = A för alla matriser där produkten är definierad. Nollmatrisen fungerar som 0 vid addition. Däremot kan produkten av två matriser bli nollmatrisen utan att någon av dem är noll, något som aldrig händer med vanliga tal.

Vanliga fel

• Att multiplicera talen plats för plats i stället för rad gånger kolumn.
• Att anta att A · B är samma som B · A.
• Att försöka addera matriser av olika storlek.
• Att blanda ihop antal rader och kolumner när man kontrollerar om en produkt går att räkna.
• Att upphöja varje tal för sig när man räknar $A^2$. Det ger i allmänhet fel svar, utom i specialfall som diagonalmatriser.

Typiska uppgifter

En vanlig uppgift ger två matriser och frågar vilka produkter som är definierade, AB, BA eller ingen av dem. Skriv upp storlekarna, till exempel 2×3 och 3×4, och kontrollera att de inre talen stämmer: 3 och 3 gör att AB finns och blir 2×4, medan BA kräver att 4 och 2 stämmer, vilket de inte gör. En annan uppgift är att lösa en matrisekvation som AX = B. Då multiplicerar man med inversen från vänster, X = A⁻¹B, och inversen räknar inversmatriskalkylatorn ut.

Matriser i praktiken

Ett ekvationssystem kan skrivas kompakt som Ax = b, där A innehåller koefficienterna. Hur det löses visar ekvationssystemkalkylatorn. I datorgrafik representeras rotationer och skalningar som matriser, och flera steg slås ihop genom att multiplicera matriserna. I ekonomi och statistik används matriser för tabeller med många samband på en gång. Skalärprodukten mellan två vektorer, som räknas i skalärproduktkalkylatorn, är precis den operation, rad gånger kolumn, som matrismultiplikationen bygger på.

Så gör du på räknaren

Räknare med matrisläge låter dig definiera matriserna först och sedan skriva uttrycket, till exempel A × B. Utan matrisläge räknar du varje tal för sig, rad gånger kolumn. Skriv gärna ut produktens storlek innan du börjar, så att du vet hur många tal du ska räkna fram.

Determinanten av en kvadratisk matris räknar determinantkalkylatorn ut, rader blir kolumner i transponatkalkylatorn och rangen visar kalkylatorn för matrisrang. Fler verktyg finns bland kalkylatorerna för matriser och vektorer och på matematiksidan.