Determinant

Vad är en determinant?

Determinanten är ett tal som hör till en kvadratisk matris, alltså en matris med lika många rader som kolumner. Den skrivs det(A) eller med lodräta streck runt talen. Ett enda tal säger förvånansvärt mycket om matrisen: om determinanten är 0 saknar matrisen invers, och ett ekvationssystem med matrisen som koefficienter har då inte en entydig lösning. Är determinanten skild från 0 finns både invers och en unik lösning.

Determinanten har också en geometrisk betydelse. En 2×2-matris kan ses som en avbildning av planet, och determinanten talar om hur mycket areor förstoras. Matrisen [2 0; 0 3] sträcker ut allt 2 gånger på bredden och 3 gånger på höjden, så en kvadrat med arean 1 blir en rektangel med arean 6. För en 3×3-matris gäller samma sak för volymer. Ett negativt tecken betyder att avbildningen dessutom spegelvänder.

Determinanten för en 2×2-matris

För matrisen med raderna (a b) och (c d) gäller:

$\det \left(A\right)=\mathrm{ad}-\mathrm{bc}$

Multiplicera talen på huvuddiagonalen, från övre vänstra hörnet till nedre högra, och dra av produkten av den andra diagonalen. Exempel: för matrisen [3 1; 2 4] blir determinanten $3·4-1·2=10$. Vi skriver matriser rad för rad inom hakparentes, med semikolon mellan raderna.

Determinanten för en 3×3-matris

För 3×3 finns två vanliga metoder som ger samma svar. Den första är utveckling längs en rad, även kallad kofaktorutveckling. Ta varje tal i första raden, multiplicera med determinanten av den 2×2-matris som blir kvar när talets rad och kolumn stryks, och växla tecken +, −, +:

$\det \left(A\right)=a(\mathrm{ei}-\mathrm{fh})-b(\mathrm{di}-\mathrm{fg})+c(\mathrm{dh}-\mathrm{eg})$

Här är a, b och c första raden, d, e och f andra raden och g, h och i tredje raden. För kalkylatorns standardmatris [2 1 3; 0 4 1; 5 2 0] blir svaret −59. För [2 −1 0; 1 3 2; 0 1 4] blir det 24.

Den andra metoden är Sarrus regel. Skriv de två första kolumnerna en gång till till höger om matrisen, addera produkterna längs de tre diagonalerna som går nedåt åt höger och dra av produkterna längs de tre som går nedåt åt vänster. Sarrus regel fungerar bara för 3×3, inte för större matriser. Kalkylatorn visar båda metoderna så att du kan kontrollera din egen räkning.

Större matriser: radreducering

För 4×4 och 5×5 blir kofaktorutveckling mycket arbete. Snabbare är att radreducera till trappform, där alla tal under diagonalen är noll. Då gäller tre regler: att addera en multipel av en rad till en annan rad ändrar inte determinanten, ett radbyte byter tecken och att multiplicera en rad med ett tal multiplicerar determinanten med samma tal. När matrisen är triangulär är determinanten produkten av diagonalen. Exempel: matrisen [1 0 2 −1; 3 0 0 5; 2 1 4 −3; 1 0 5 0] har determinanten 30, vilket kalkylatorn visar med varje radoperation.

När är determinanten noll?

Determinanten blir 0 när någon rad eller kolumn kan skrivas som en kombination av de andra. Ett klassiskt exempel är [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9], där tredje raden är två gånger andra raden minus första. Kalkylatorn ger 0 och säger att matrisen är singulär. Två lika rader, en nollrad eller två rader där den ena är en multipel av den andra ger alltid determinanten 0. Hur många oberoende rader som finns kvar visar kalkylatorn för matrisrang.

Vanliga fel

• Att räkna ad + bc i stället för ad − bc för 2×2.
• Att glömma att tecknen växlar +, −, + vid utveckling längs en rad.
• Att använda Sarrus regel på en 4×4-matris. Den gäller bara 3×3.
• Att glömma teckenbytet vid radbyte när man radreducerar.
• Att försöka räkna determinanten för en matris som inte är kvadratisk. Den finns inte.
• Att tro att det(A + B) är det(A) + det(B). Det gäller inte, däremot är det(A · B) = det(A) · det(B).

Typiska uppgifter

En vanlig uppgift är att avgöra för vilka värden på en parameter en matris saknar invers. Räkna determinanten som ett uttryck i parametern och sätt den lika med 0. För matrisen [k 2; 3 6] blir determinanten $6k-6$, som är 0 när k = 1. Då saknar matrisen invers. En annan uppgift är att räkna arean av en triangel eller ett parallellogram med hörn i givna punkter: arean av parallellogrammet som spänns upp av vektorerna (a, c) och (b, d) är beloppet av determinanten, och triangeln är hälften så stor.

Var används determinanter?

Determinanter dyker upp när man löser ekvationssystem med Cramers regel, när man kontrollerar om en matris går att invertera och när man räknar areor och volymer med vektorer. Kryssprodukten av två vektorer i rummet kan räknas som en determinant, och i datorgrafik används determinanten för att se om en transformation vänder på en figur. Hur man löser ett system steg för steg visar ekvationssystemkalkylatorn.

Så gör du på räknaren

Många grafräknare och tekniska räknare har ett matrisläge där man först definierar matrisen och sedan väljer funktionen det. På räknare utan matrisläge räknar du 2×2 direkt som ad − bc. För 3×3 är det säkrast att räkna de tre underdeterminanterna var för sig och sedan sätta ihop dem, och att kontrollera svaret här.

Inversen räknar inversmatriskalkylatorn ut. Addition och multiplikation av matriser gör matriskalkylatorn, och att vända rader till kolumner gör transponatkalkylatorn. En matris och dess transponat har för övrigt alltid samma determinant. Alla verktyg finns bland kalkylatorerna för matriser och vektorer och på matematiksidan.