Vinkel mellan vektorer

Skriv in två vektorer så räknas vinkeln mellan dem ut med skalärprodukten. Du får vinkeln i grader och radianer, cos θ, om vinkeln är spetsig, rät eller trubbig, och hela uträkningen steg för steg.

Gratis att användaIngen registreringUppdaterad 2026

Dimension

Planet eller rummet

Dimension

Formeln är densamma i planet och i rummet, bara med en koordinat till.

Vektorerna

Heltal eller decimaltal

u: x

Första vektorn u.

u: y

v: x

Andra vektorn v.

v: y

Beräkningen är en vägledande uppskattning baserad på de uppgifter du anger. Resultatet kan skilja sig från verkligt utfall beroende på individuella förutsättningar, lokala regler, priser, materialval och andra omständigheter. Kontrollera alltid viktiga uppgifter innan du fattar beslut eller påbörjar ett arbete.

Rapportera fel

Annons

Vinkeln mellan två vektorer

Vinkeln mellan två vektorer är vinkeln man får när båda ritas med början i samma punkt. Den ligger alltid mellan 0° och 180°. Vinkeln 0° betyder att vektorerna pekar åt exakt samma håll, 90° att de är vinkelräta och 180° att de pekar åt rakt motsatta håll.

Man behöver inte rita och mäta. Med koordinaterna kan vinkeln räknas exakt, och metoden fungerar likadant i planet och i rummet.

Formeln

Vinkeln fås ur skalärprodukten, som kan skrivas på två sätt: med koordinater och med längder och vinkel. Sätter man dem lika och löser ut cosinus får man:

$\cos θ = \frac{u \cdot v}{| u | \cdot | v |}$
Skalärprodukten i planet: $u \cdot v = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ , i rummet med $+ z_{1} z_{2}$ .
Längderna: $| u | = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ och motsvarande för v.
Vinkeln: θ = arccos av kvoten.

Sambandet bygger på cosinussatsen. Vektorerna u, v och u − v bildar en triangel, och cosinussatsen för den triangeln ger exakt formeln ovan. Längderna räknas med Pythagoras sats, som vektorlängdskalkylatorn visar steg för steg.

Räknade exempel

Exempel 1: två vektorer i planet

u = (4, 1) och v = (1, 3). Skalärprodukten är $4 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 7$ . Längderna är $\sqrt{17}$ och $\sqrt{10}$ . Då blir $\cos θ = \frac{7}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{10}} \approx 0,5369$ , och vinkeln ungefär 57,53°. I radianer är det 1,0041.

Exempel 2: en standardvinkel

u = (1, 0) och v = (1, 1) ger skalärprodukten 1 och längderna 1 och $\sqrt{2}$ . Då är $\cos θ = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,7071$ , och vinkeln blir exakt 45°. Det syns också i figuren: v ligger mitt emellan x-axeln och y-axeln.

Exempel 3: vinkelräta och trubbiga

u = (2, 1) och v = (−1, 2) ger skalärprodukten 0, så $\cos θ = 0$ och vinkeln är 90°. Med u = (1, 0) och v = (−1, 1) blir skalärprodukten −1, cosinus negativt och vinkeln 135°, en trubbig vinkel. Tecknet på skalärprodukten avslöjar alltså direkt om vinkeln är spetsig eller trubbig.

Exempel 4: i rummet

u = (1, 2, 2) och v = (2, 1, 2). Skalärprodukten är 2 + 2 + 4 = 8, och båda vektorerna har längden 3. Då är $\cos θ = \frac{8}{9} \approx 0,8889$ , och vinkeln ungefär 27,27°. Ett annat exempel är (1, 1, 0) och (0, 1, 1), som bildar vinkeln 60°. I figuren ritas vinklar i rummet i sned projektion, så bågen kan se större eller mindre ut än den är. Talet i resultatet är det som gäller.

Annons

Exempel 5: vinkeln i en triangel

Triangeln har hörnen A = (1, 1), B = (5, 2) och C = (2, 4). Vinkeln vid A är vinkeln mellan vektorerna AB och AC, som båda börjar i A. AB = (5 − 1, 2 − 1) = (4, 1) och AC = (2 − 1, 4 − 1) = (1, 3). Det är samma vektorer som i exempel 1, så vinkeln vid A är ungefär 57,53°. Räknar man vinklarna vid B och C på samma sätt ska de tre vinklarna tillsammans bli 180°, vilket är en bra kontroll.

Exakta vinklar

Några cosinusvärden återkommer så ofta att det lönar sig att känna igen dem. Blir kvoten ett av dessa värden är vinkeln exakt:

cos θ = 1 ger 0°, och cos θ = −1 ger 180°.
cos θ = 0 ger 90°.
cos θ = 0,5 ger 60°, och cos θ = −0,5 ger 120°.
cos θ = 1/√2, ungefär 0,7071, ger 45°.
cos θ = √3/2, ungefär 0,8660, ger 30°.

Vanliga fel

Räknaren står i radianläge. arccos 0,5 ger då 1,047 i stället för 60°. Ställ om till grader eller räkna om med 180/π.
Att glömma längderna och ta arccos direkt på skalärprodukten. Kvoten måste ligga mellan −1 och 1.
Att avrunda längderna för tidigt. Räkna med rotuttrycken och avrunda först vinkeln.
Att försöka räkna vinkeln till nollvektorn. Den saknar riktning, så vinkeln är inte definierad.
Att ange en vinkel över 180°. Vinkeln mellan två vektorer är alltid den minsta vinkeln, mellan 0° och 180°.

Typiska uppgifter

Den vanligaste uppgiften ger två vektorer och frågar efter vinkeln. Lös den i fyra steg: skalärprodukt, två längder, kvot och arccos. En variant ger tre punkter A, B och C och frågar efter vinkeln vid B i triangeln. Då räknar man vektorerna BA och BC och vinkeln mellan dem. Båda vektorerna ska börja i B.

En annan typ går baklänges: för vilket värde på a bildar (a, 1) och (1, 0) vinkeln 45°? Då ställer man upp cos 45° = a / √(a² + 1) och löser ekvationen. Vinkeln ur ett cosinusvärde räknas med arccos, och omräkning mellan grader och radianer finns i grader- och radiankalkylatorn.

Var används vinkeln mellan vektorer?

I fysik avgör vinkeln mellan kraft och rörelseriktning hur stor del av kraften som uträttar arbete. I datorgrafik bestämmer vinkeln mellan ljusets riktning och en ytas normal hur ljus ytan blir. Normalen räknas ofta med kryssprodukten. I navigation räknas vinkeln mellan två kurser på samma sätt, och inom dataanalys används cosinus för vinkeln mellan två vektorer som ett mått på hur lika två datamängder är.

Så gör du på räknaren

Ställ räknaren i gradläge.
Skriv hela kvoten inom parentes efter arccos: cos⁻¹(7 ÷ (√17 × √10)) =.
Kontrollera att kvoten ligger mellan −1 och 1 innan du tar arccos.

Alla verktyg finns bland kalkylatorerna för matriser och vektorer och på matematiksidan.

Annons

Vanliga frågor

Hur räknar man vinkeln mellan två vektorer?

Dela skalärprodukten med produkten av längderna och ta arccos: cos θ = u · v / (|u| · |v|). (4, 1) och (1, 3) ger ungefär 57,5°.

Hur vet man om vinkeln är spetsig eller trubbig?

Titta på tecknet på skalärprodukten. Positiv betyder spetsig vinkel, 0 betyder rät vinkel och negativ betyder trubbig vinkel.

Fungerar formeln i 3D?

Ja, samma formel med tre koordinater. (1, 2, 2) och (2, 1, 2) ger cos θ = 8/9 och vinkeln ungefär 27,3°.

Varför får jag fel vinkel på räknaren?

Oftast står räknaren i radianläge. arccos 0,5 ger då 1,047, vilket är 60° i radianer. Läs mer om arccos och de andra inversa funktionerna.

Kan vinkeln mellan två vektorer vara större än 180°?

Nej. Vinkeln mellan två vektorer definieras som den minsta vinkeln mellan dem och ligger alltid mellan 0° och 180°.

Vilken vinkel har parallella vektorer?

0° om de pekar åt samma håll och 180° om de pekar åt motsatta håll. (1, 2) och (−2, −4) bildar 180°.

← Fler kalkylatorer inom Matriser & vektorer

Relaterade kalkylatorer

Vektorlängd

Längden av en vektor i planet eller rummet, med exakt svar.

Beräkna

Kryssprodukt

Kryssprodukten u × v i 3D, med area och figur.

Beräkna

Vektorkalkylator

Räkna med vektorer i planet och rummet, med figur.

Beräkna

Matrisrang

Rangen av en matris med trappform och radoperationer.

Beräkna

Transponat

Transponatet av en matris, med symmetrikontroll och spår.

Beräkna

Invers matris

Inversen till en matris med Gauss–Jordan steg för steg.

Beräkna

Upptäck fler kalkylatorer

Amorteringskrav

Se hur mycket du måste amortera per månad och när kravet sänks.

Öppna

Procent av procent

Räkna ut vad en procentsats av en annan procentsats blir — och vad det motsvarar i kronor.

Öppna

Räkneordning – prioriteringsregler steg för steg

Räkna ut ett uttryck i rätt ordning och se varje steg.

Öppna

Elavtalsjämförelse – räkna på ditt avtal

Jämför två elavtal på totalkostnad och se vad hela elräkningen landar på per år.

Öppna

Sälja överskottsel – vad får du betalt?

Räkna ut intäkten för såld solel — spotpris, nätnytta och skattereduktionen 60 öre.

Öppna

Bränslekostnad kalkylator

Räkna ut vad bilresan kostar i bensin, diesel eller el, och vad det blir per person.

Öppna

Vinkeln mellan två vektorer

Man behöver inte rita och mäta. Med koordinaterna kan vinkeln räknas exakt, och metoden fungerar likadant i planet och i rummet.

Formeln

Vinkeln fås ur skalärprodukten, som kan skrivas på två sätt: med koordinater och med längder och vinkel. Sätter man dem lika och löser ut cosinus får man:

$\cos θ = \frac{u \cdot v}{| u | \cdot | v |}$
Skalärprodukten i planet: $u \cdot v = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ , i rummet med $+ z_{1} z_{2}$ .
Längderna: $| u | = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ och motsvarande för v.
Vinkeln: θ = arccos av kvoten.

Räknade exempel

Exempel 1: två vektorer i planet

Exempel 2: en standardvinkel

Exempel 3: vinkelräta och trubbiga

Exempel 4: i rummet

Annons

Exempel 5: vinkeln i en triangel

Exakta vinklar

Några cosinusvärden återkommer så ofta att det lönar sig att känna igen dem. Blir kvoten ett av dessa värden är vinkeln exakt:

cos θ = 1 ger 0°, och cos θ = −1 ger 180°.
cos θ = 0 ger 90°.
cos θ = 0,5 ger 60°, och cos θ = −0,5 ger 120°.
cos θ = 1/√2, ungefär 0,7071, ger 45°.
cos θ = √3/2, ungefär 0,8660, ger 30°.

Vanliga fel

Räknaren står i radianläge. arccos 0,5 ger då 1,047 i stället för 60°. Ställ om till grader eller räkna om med 180/π.
Att glömma längderna och ta arccos direkt på skalärprodukten. Kvoten måste ligga mellan −1 och 1.
Att avrunda längderna för tidigt. Räkna med rotuttrycken och avrunda först vinkeln.
Att försöka räkna vinkeln till nollvektorn. Den saknar riktning, så vinkeln är inte definierad.
Att ange en vinkel över 180°. Vinkeln mellan två vektorer är alltid den minsta vinkeln, mellan 0° och 180°.

Typiska uppgifter

Var används vinkeln mellan vektorer?

Så gör du på räknaren

Ställ räknaren i gradläge.
Skriv hela kvoten inom parentes efter arccos: cos⁻¹(7 ÷ (√17 × √10)) =.
Kontrollera att kvoten ligger mellan −1 och 1 innan du tar arccos.

Alla verktyg finns bland kalkylatorerna för matriser och vektorer och på matematiksidan.