Skalärprodukt

Vad är skalärprodukten?

Skalärprodukten är ett sätt att multiplicera två vektorer som ger ett vanligt tal, en skalär, som svar. Den skrivs med en punkt, $u·v$, och kallas därför ibland punktprodukt. Talet säger något om hur mycket vektorerna pekar åt samma håll. Pekar de åt ungefär samma håll blir skalärprodukten positiv, är de vinkelräta blir den 0, och pekar de åt motsatta håll blir den negativ.

Två sätt att räkna

Skalärprodukten kan räknas på två sätt som alltid ger samma svar:

• Med koordinater: $u·v=x_1{x}_2+y_1{y}_2$, och i rummet $+z_1{z}_2$.
• Med längder och vinkel: $u·v=\left|u\right|·\left|v\right|·\cos \theta$, där θ är vinkeln mellan vektorerna.

Att de två formlerna ger samma svar följer av cosinussatsen. Rita u, v och u − v som en triangel. Cosinussatsen ger $|u-v{|}^2=|u{|}^2+|v{|}^2-2|u\left|\right|v|\cos \theta$. Räknar man vänsterledet med koordinater och förenklar blir det $|u{|}^2+|v{|}^2-2(x_1{x}_2+y_1{y}_2)$. Jämför man de två uttrycken ser man att $x_1{x}_2+y_1{y}_2$ måste vara lika med $\left|u\right|\left|v\right|\cos \theta$.

Sambandet gör att man kan gå åt båda hållen. Har man koordinaterna kan man räkna ut vinkeln, vilket kalkylatorn för vinkel mellan vektorer gör i detalj. Har man längderna och vinkeln kan man räkna skalärprodukten utan koordinater.

Räkneregler

Skalärprodukten följer flera regler som liknar vanlig multiplikation, och de används ofta när man förenklar uttryck med vektorer:

• Ordningen spelar ingen roll: $u·v=v·u$.
• Den kan multipliceras in i parenteser: $u·(v+w)=u·v+u·w$.
• Ett tal kan flyttas ut: $\left(ku\right)·v=k(u·v)$.
• En vektor gånger sig själv ger längden i kvadrat: $u·u=|u{|}^2$.

Den sista regeln är praktisk när man ska räkna längden av en summa, eftersom $|u+v{|}^2=|u{|}^2+2u·v+|v{|}^2$. När u och v är vinkelräta försvinner mittentermen, och det som blir kvar är Pythagoras sats.

Räknade exempel

Exempel 1: med koordinater

Med u = (3, 1) och v = (1, 2) blir $u·v=3·1+1·2=5$. Eftersom svaret är positivt är vinkeln spetsig, och kalkylatorn räknar ut den till 45°.

Exempel 2: vinkelräta vektorer

u = (2, 1) och v = (−1, 2) ger $2·(-1)+1·2=0$. Skalärprodukten är 0, så vektorerna är vinkelräta. Det är det snabbaste sättet att kontrollera vinkelräthet: ingen vinkel behöver räknas ut.

Exempel 3: i rummet

u = (3, 1, 2) och v = (1, 2, 3) ger $3+2+6=11$. Formeln är densamma, bara med en term till.

Exempel 4: med längder och vinkel

Två vektorer med längderna 4 och 3 och vinkeln 60° har skalärprodukten $4·3·\cos 60°=12·\mathrm{0,5}=6$. Med längderna 5 och 2 och vinkeln 120° blir det $10·(-\mathrm{0,5})=-5$. Vinkeln är trubbig, så svaret är negativt.

Projektion

Projektionen av u på v är den del av u som pekar längs v, som skuggan av u på en linje i v:s riktning. Den räknas som $\frac{u·v}{|v{|}^2}·v$. Med u = (3, 1) och v = (1, 2) blir projektionen (1, 2), och i figuren är den den streckade sträckan längs v. Den skalära projektionen, alltså projektionens längd med tecken, är $\frac{u·v}{\left|v\right|}$. För u = (1, 0) och v = (−1, 1) blir skalärprodukten −1, så projektionen pekar åt motsatt håll mot v.

Vanliga fel

• Att svara med en vektor. Skalärprodukten är ett tal. Det är kryssprodukten som ger en vektor.
• Att multiplicera fel koordinater med varandra. Det är x med x, y med y och z med z.
• Teckenfel med negativa koordinater. 2 · (−1) är −2. Skriv ut parenteserna.
• Att glömma att räknaren ska stå i gradläge när vinkeln anges i grader.
• Att tro att skalärprodukten 0 betyder att en vektor är 0. Den betyder att vektorerna är vinkelräta, så länge ingen av dem är nollvektorn.

Typiska uppgifter

Den vanligaste uppgiften är att avgöra om två vektorer är vinkelräta. Räkna skalärprodukten och se om den blir 0. En variant ger en okänd koordinat: för vilket a är (a, 2) och (3, −6) vinkelräta? Skalärprodukten 3a − 12 = 0 ger a = 4.

En annan typ ber om vinkeln mellan två vektorer. Räkna skalärprodukten och de två längderna, dela och ta arccos. En tredje typ gäller projektion eller komposanter, till exempel hur stor del av en kraft som verkar längs en lutande yta.

Var används skalärprodukten?

I fysik är arbete skalärprodukten av kraft och förflyttning: bara den del av kraften som verkar i rörelsens riktning uträttar arbete. Drar man en kälke med en kraft som lutar uppåt används bara den vågräta delen för att flytta kälken framåt. På samma sätt är mekanisk effekt skalärprodukten av kraft och hastighet. I elläran räknas effekt i stället som spänning gånger ström, se effektkalkylatorn.

I datorgrafik avgör skalärprodukten hur ljust en yta ska belysas, beroende på vinkeln mot ljuskällan. Matrismultiplikation består också av skalärprodukter: varje element i produkten är skalärprodukten av en rad och en kolumn, se matriskalkylatorn.

Så gör du på räknaren

• Med koordinater: 3 × 1 + 1 × 2 =. Skriv negativa tal inom parentes.
• Med vinkel: 4 × 3 × cos(60) = i gradläge.
• Vinkeln ur skalärprodukten: cos⁻¹(5 ÷ (√10 × √5)) =.

Vektorns grundräkning finns i vektorkalkylatorn. Alla verktyg finns bland kalkylatorerna för matriser och vektorer och på matematiksidan.