Sannolikhetskalkylator

Vad är sannolikhet?

Sannolikhet är ett mått på hur troligt det är att något inträffar. Den anges som ett tal mellan 0 och 1, eller mellan 0 och 100 procent. Sannolikheten 0 betyder att händelsen aldrig kan inträffa, och 1 betyder att den alltid inträffar. Allt däremellan beskriver hur ofta den inträffar i det långa loppet om försöket upprepas många gånger.

Ett utfall är ett möjligt resultat av ett försök, till exempel att en tärning visar en fyra. En händelse är en samling utfall som man är intresserad av, till exempel "jämnt tal", som består av utfallen 2, 4 och 6. Utfallen som hör till händelsen kallas gynnsamma.

Formeln: gynnsamma delat med möjliga

När alla utfall är lika troliga räknas sannolikheten för en händelse $A$ som

• $P\left(A\right)=\frac{g}{m}$, där $g$ är antalet gynnsamma utfall och $m$ antalet möjliga.
• Motsatsen, att $A$ inte inträffar, har sannolikheten $1-P\left(A\right)$. Den kallas komplementhändelsen.
• Summan av sannolikheterna för alla möjliga utfall är alltid 1.

Formeln bygger på symmetri. Har en tärning sex sidor som är lika troliga måste var och en komma upp en sjättedel av gångerna, och en händelse med flera gynnsamma sidor får lika många sjättedelar. Villkoret om lika troliga utfall är viktigt. Summan av två tärningar har elva möjliga värden, men de är inte lika troliga, så sannolikheten för summan 7 är inte 1/11. Det räknar tärningskalkylatorn ut åt dig.

Exempel med gynnsamma och möjliga utfall

Chansen att slå en sexa med en tärning är 1 gynnsamt av 6 möjliga, alltså 1/6, ungefär 0,167 eller 16,67 %. Oddset för en sexa är 1 : 5, eftersom det finns ett utfall för och fem emot. Sannolikheten att inte få en sexa blir 83,33 %.

Dra ett kort ur en vanlig kortlek. Det finns 4 ess bland 52 kort, så sannolikheten blir 4/52, som förkortas till 1/13. Det är cirka 7,69 %, eller 1 på 13. Fler frågor om kort, till exempel chansen för ett visst antal ess på en hand, räknar kortlekskalkylatorn ut.

En påse innehåller 3 röda och 7 blå kulor. Chansen att dra en röd är 3 av 10, alltså 30 %. Lägg märke till att procent bara är bråket skrivet med nämnaren 100. Behöver du räkna om mellan bråk, decimaltal och procent hjälper procentkalkylatorn.

Två steg: med och utan återläggning

Många uppgifter har flera steg, till exempel två dragningar ur samma påse. Då multipliceras sannolikheterna längs vägen. Med 3 röda och 7 blå kulor är chansen att dra två röda i rad, om kulan läggs tillbaka, $\frac{3}{10}·\frac{3}{10}=\frac{9}{100}$, alltså 9 %. Läggs kulan inte tillbaka finns bara 2 röda kvar av 9 kulor inför andra dragningen. Då blir det $\frac{3}{10}·\frac{2}{9}=\frac{6}{90}$, ungefär 6,7 %.

Ska man räkna ut sannolikheten för en röd och en blå i valfri ordning finns två vägar: röd först och blå sedan, eller blå först och röd sedan. Varje väg räknas för sig och sedan läggs de ihop. Utan återläggning blir det $\frac{3}{10}·\frac{7}{9}+\frac{7}{10}·\frac{3}{9}=\frac{42}{90}$, cirka 46,7 %. Regeln är alltså att man multiplicerar längs en gren och adderar mellan grenar.

Teoretisk och statistisk sannolikhet

Formeln med gynnsamma och möjliga utfall ger en teoretisk sannolikhet. Den kräver att man vet att utfallen är lika troliga. I många verkliga situationer vet man inte det, till exempel om ett häftstift landar med spetsen upp. Då uppskattar man sannolikheten genom att göra många försök och räkna hur stor andel som blev träffar. Andelen kallas relativ frekvens. Ju fler försök, desto närmare den verkliga sannolikheten brukar den hamna. Med tio kast kan en tärning lätt ge tre sexor, men med tiotusen kast ligger andelen sexor oftast nära en sjättedel.

Minst en gång på flera försök

En av de vanligaste frågorna är hur stor chansen är att något händer minst en gång om man försöker flera gånger. Den räknas enklast via motsatsen. Att något händer minst en gång är samma sak som att det inte är så att det aldrig händer. Om försöken är oberoende multipliceras sannolikheterna för varje misslyckat försök:

$P=1-(1-p{)}^n$, där $p$ är sannolikheten vid ett försök och $n$ antalet försök.

Med 5 % chans per försök och 20 försök blir chansen att det aldrig händer ${\mathrm{0,95}}^{20}\approx$ 35,85 %. Minst en gång blir då 64,15 %. Det krävs 14 försök för att chansen ska passera 50 %. Mer om att kombinera händelser som inte påverkar varandra finns i kalkylatorn för oberoende händelser.

Chansen att få minst en sexa på fyra kast blir 51,77 %, alltså lite drygt hälften. En händelse som har 1 % chans per försök inträffar minst en gång på 100 försök med ungefär 63,4 % sannolikhet, inte 100 % som många tror.

Vanliga fel

• Att lägga ihop sannolikheter för upprepade försök. 20 försök med 5 % blir inte 100 %, eftersom de gånger det lyckas flera gånger räknas dubbelt.
• Att anta att alla utfall är lika troliga när de inte är det, som summan av två tärningar.
• Att tro att slumpen "jämnar ut sig". En tärning har inget minne. Efter tio kast utan sexa är chansen för en sexa i nästa kast fortfarande 1/6.
• Att blanda ihop odds och sannolikhet. Oddset 1 : 5 betyder sannolikheten 1/6, inte 1/5.

Typiska uppgifter i skolan

En vanlig uppgift ger en påse med kulor i olika färger och frågar efter sannolikheten att dra en viss färg. Räkna gynnsamma och möjliga och förkorta bråket. Nästa steg är att dra två kulor. Då måste man hålla reda på om kulan läggs tillbaka eller inte. Utan återläggning ändras både täljare och nämnare inför andra dragningen, och man multiplicerar sannolikheterna längs grenarna i ett träddiagram.

En annan vanlig uppgift handlar om "minst en". Lösningen är nästan alltid att räkna motsatsen först. När antalet möjliga utfall är stort behöver man räkna dem med kombinatorik. Då kommer kombinationer in, till exempel för att räkna ut hur många olika lottrader som finns. För upprepade försök med ett bestämt antal lyckade används binomialfördelningen, och för händelser som inträffar ett visst antal gånger per tidsenhet Poissonfördelningen.

Sannolikhet i vardagen

Sannolikhet används för att bedöma risker, i försäkringar, väderprognoser och medicinska tester. När ett test ger positivt svar är frågan hur troligt det är att man verkligen har det som testet letar efter. Det räknar Bayes sats ut, och svaret blir ofta lägre än man tror. Spel bygger också på sannolikhet. Lotterikalkylatorn visar chansen att vinna i olika lotterier, och sammanträffandekalkylatorn visar varför till synes osannolika sammanträffanden händer oftare än man tror. Hur odds hänger ihop med sannolikhet visar oddskalkylatorn.

Så gör du på räknaren

• Bråk till procent: dela täljaren med nämnaren och multiplicera med 100. 1 ÷ 6 × 100 ≈ 16,67.
• Minst en gång: 1 − (1 − 0,05) ^ 20 ger cirka 0,6415.
• Skriv parenteserna, annars räknar räknaren upphöjt före subtraktionen.

Fler kalkylatorer om slump och urval finns bland kalkylatorerna för sannolikhet och kombinatorik och på matematiksidan.