Kryssprodukt

Skriv in två vektorer med tre koordinater var, så räknas kryssprodukten ut steg för steg. Du ser också arean av parallellogrammet och triangeln som vektorerna spänner upp, och en kontroll av att resultatet är vinkelrätt mot båda.

Gratis att användaIngen registreringUppdaterad 2026

Vektorn u

Tre koordinater

u: x

Kryssprodukten finns bara för vektorer i rummet, med tre koordinater.

u: y

u: z

Vektorn v

Tre koordinater

v: x

Ordningen spelar roll: v × u pekar åt motsatt håll mot u × v.

v: y

v: z

Beräkningen är en vägledande uppskattning baserad på de uppgifter du anger. Resultatet kan skilja sig från verkligt utfall beroende på individuella förutsättningar, lokala regler, priser, materialval och andra omständigheter. Kontrollera alltid viktiga uppgifter innan du fattar beslut eller påbörjar ett arbete.

Rapportera fel

Annons

Vad är kryssprodukten?

Kryssprodukten, även kallad vektorprodukten, multiplicerar två vektorer i rummet och ger en ny vektor som svar. Den skrivs $u \times v$ . Resultatet har tre egenskaper: det är vinkelrätt mot både u och v, dess längd är lika med arean av parallellogrammet som u och v spänner upp, och dess riktning ges av högerhandsregeln.

Kryssprodukten finns bara för vektorer med tre koordinater. I planet finns ingen riktning som är vinkelrät mot två vektorer i planet utan att lämna planet. Det skiljer den från skalärprodukten, som fungerar i alla dimensioner och ger ett tal i stället för en vektor.

Formeln

Med u = (u₁, u₂, u₃) och v = (v₁, v₂, v₃) är kryssprodukten:

x-koordinat: $u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}$
y-koordinat: $u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}$
z-koordinat: $u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}$

Formeln är lättare att komma ihåg som ett determinantschema. Skriv de två vektorerna som rader under varandra. För x-koordinaten täcker man över x-kolumnen och räknar determinanten av den 2×2-matris som blir kvar, alltså korsvis produkt minus korsvis produkt. För y och z gör man likadant. Ett vanligt knep för att få tecknen rätt är att alltid ta kolumnerna i cyklisk ordning: y-z för x, z-x för y och x-y för z.

Räknade exempel

Exempel 1: (1, 2, 3) × (4, 5, 6)

x-koordinaten blir $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = - 3$ , y-koordinaten $3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 6$ och z-koordinaten $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = - 3$ . Kryssprodukten är alltså (−3, 6, −3). Längden är $\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6}$ , ungefär 7,35. Det är arean av parallellogrammet, och triangeln med u och v som sidor har hälften av den arean, ungefär 3,67 areaenheter.

Kontroll: $(- 3, 6, - 3) \cdot (1, 2, 3) = - 3 + 12 - 9 = 0$ och $(- 3, 6, - 3) \cdot (4, 5, 6) = - 12 + 30 - 18 = 0$ . Resultatet är vinkelrätt mot båda vektorerna, som det ska vara.

Exempel 2: koordinataxlarna

Enhetsvektorerna längs x och y ger (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1), enhetsvektorn längs z-axeln. Med längderna 2 och 3 längs samma axlar blir kryssprodukten (0, 0, 6), och längden 6 är arean av rektangeln med sidorna 2 och 3.

Exempel 3: parallella vektorer

(1, 2, 3) och (2, 4, 6) är parallella, eftersom den andra är den första gånger 2. Kryssprodukten blir (0, 0, 0). Parallella vektorer spänner inte upp någon yta, så arean är 0. Det ger ett snabbt test för parallellitet i rummet.

Annons

Längden och vinkeln

Längden av kryssprodukten kan också skrivas $| u \times v | = | u | \cdot | v | \cdot \sin θ$ , där θ är vinkeln mellan vektorerna. Det motsvarar formeln för parallellogrammets area, bas gånger höjd, eftersom höjden är $| v | \sin θ$ . För u = (1, 1, 0) och v = (0, 1, 1) är längden √3 ≈ 1,73. Vinkeln mellan vektorerna är 60°, vilket kalkylatorn för vinkel mellan vektorer kan bekräfta.

Högerhandsregeln

Det finns två riktningar som är vinkelräta mot både u och v, rakt åt ena eller andra hållet. Högerhandsregeln avgör vilken. Peka med högerhandens pekfinger längs u och långfingret längs v. Tummen pekar då längs u × v. Byter man ordning blir resultatet det motsatta: $v \times u = - (u \times v)$ . Ordningen spelar alltså roll, till skillnad från vanlig multiplikation och skalärprodukten.

Vanliga fel

Teckenfel i y-koordinaten. Följ den cykliska ordningen z-x, eller kontrollera med skalärprodukten efteråt.
Att byta ordning på vektorerna. v × u pekar åt motsatt håll mot u × v.
Att försöka räkna kryssprodukten i planet. Lägg i så fall till z = 0 för båda vektorerna. Resultatet pekar då rakt längs z-axeln.
Att glömma att triangelns area är hälften av längden, inte hela.
Att blanda ihop den med skalärprodukten. Kryssprodukten ger en vektor, skalärprodukten ett tal.

Typiska uppgifter

En vanlig uppgift ger tre punkter A, B och C i rummet och frågar efter triangelns area. Räkna AB = B − A och AC = C − A, ta kryssprodukten och halva längden. En annan typ ber om en normalvektor till ett plan som innehåller två givna vektorer. Kryssprodukten av dem är en sådan normal, och den används för att skriva planets ekvation.

Exempel: A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0) och C = (0, 0, 3). Då är AB = (−1, 2, 0) och AC = (−1, 0, 3). Kryssprodukten blir (6, 3, 2) med längden 7, så triangelns area är 3,5 areaenheter. Samma vektor (6, 3, 2) är en normal till planet genom de tre punkterna.

Volymen av en parallellepiped, ett snett rätblock, med kanterna u, v och w är beloppet av $(u \times v) \cdot w$ . Det kallas trippelprodukten och är samma sak som determinanten av matrisen med u, v och w som rader. Är den 0 ligger de tre vektorerna i samma plan. Grunderna i vektorräkning finns i vektorkalkylatorn och längder i vektorlängdskalkylatorn.

Var används kryssprodukten?

I fysik ger kryssprodukten vridmoment, kraften gånger hävarmen, och riktningen visar vridaxeln. Den beskriver också den magnetiska kraften på en laddning i rörelse. I datorgrafik räknas normalvektorer till ytor med kryssprodukten, och de används sedan för att avgöra hur ljuset faller på ytan.

Så gör du på räknaren

Räkna de tre koordinaterna en i taget, till exempel 2 × 6 − 3 × 5 =.
Skriv negativa tal inom parentes.
Längden: √((−3)² + 6² + (−3)²) =.
Vissa räknare har ett vektorläge med en kryssproduktfunktion. Det handräknade schemat fungerar på alla räknare.

Alla verktyg finns bland kalkylatorerna för matriser och vektorer och på matematiksidan.

Annons

Vanliga frågor

Hur räknar man ut kryssprodukten?

Med formeln (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁). (1, 2, 3) × (4, 5, 6) = (−3, 6, −3).

Vad är skillnaden mellan kryssprodukt och skalärprodukt?

Kryssprodukten ger en vektor som är vinkelrät mot båda, och finns bara i rummet. Skalärprodukten ger ett tal och fungerar i alla dimensioner.

Hur räknar man arean med kryssprodukten?

Längden av u × v är arean av parallellogrammet som u och v spänner upp. Triangelns area är hälften. (1, 2, 3) och (4, 5, 6) ger arean √54 ≈ 7,35.

Varför blir kryssprodukten noll?

När vektorerna är parallella, eller när någon av dem är nollvektorn. Då spänner de inte upp någon yta. (1, 2, 3) × (2, 4, 6) = (0, 0, 0).

Spelar ordningen någon roll?

Ja. v × u är lika med −(u × v), samma längd men motsatt riktning. Högerhandsregeln avgör riktningen.

Kan man räkna kryssprodukt i 2D?

Inte som vektor i planet. Lägger man till z = 0 får man en vektor längs z-axeln, och dess z-koordinat x₁y₂ − x₂y₁ är arean av parallellogrammet med tecken.

← Fler kalkylatorer inom Matriser & vektorer

Relaterade kalkylatorer

Vinkel mellan vektorer

Vinkeln mellan två vektorer i grader och radianer.

Beräkna

Vektorlängd

Längden av en vektor i planet eller rummet, med exakt svar.

Beräkna

Vektorkalkylator

Räkna med vektorer i planet och rummet, med figur.

Beräkna

Matrisrang

Rangen av en matris med trappform och radoperationer.

Beräkna

Transponat

Transponatet av en matris, med symmetrikontroll och spår.

Beräkna

Invers matris

Inversen till en matris med Gauss–Jordan steg för steg.

Beräkna

Upptäck fler kalkylatorer

Sannolikhetskalkylator

Sannolikhet ur gynnsamma och möjliga utfall, och chansen för minst en gång på n försök.

Öppna

Kyl och frys – årskostnad & bytekalkyl

Räkna ut vad kylen eller frysen kostar per år — och om ett byte räknas hem på elen.

Öppna

Vedförbrukning kalkylator

Räkna ut hur mycket ved du behöver elda under en säsong och vad det kostar.

Öppna

Hantverkarkostnad kalkylator

Räkna ut vad hantverkaren kostar — timpris, arbetstid och ROT-avdrag 2026.

Öppna

Flytspackelkalkylator – kg och säckar

Räkna ut hur mycket flytspackel du behöver — kilo, säckar och primer.

Öppna

Spillkalkylator

Räkna ut hur mycket spill du får när du köper virke eller trall i fasta längder.

Öppna

Vad är kryssprodukten?

Formeln

Med u = (u₁, u₂, u₃) och v = (v₁, v₂, v₃) är kryssprodukten:

x-koordinat: $u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}$
y-koordinat: $u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}$
z-koordinat: $u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}$

Räknade exempel

Exempel 1: (1, 2, 3) × (4, 5, 6)

Kontroll: $(- 3, 6, - 3) \cdot (1, 2, 3) = - 3 + 12 - 9 = 0$ och $(- 3, 6, - 3) \cdot (4, 5, 6) = - 12 + 30 - 18 = 0$ . Resultatet är vinkelrätt mot båda vektorerna, som det ska vara.

Exempel 2: koordinataxlarna

Exempel 3: parallella vektorer

Annons

Längden och vinkeln

Högerhandsregeln

Vanliga fel

Teckenfel i y-koordinaten. Följ den cykliska ordningen z-x, eller kontrollera med skalärprodukten efteråt.
Att byta ordning på vektorerna. v × u pekar åt motsatt håll mot u × v.
Att försöka räkna kryssprodukten i planet. Lägg i så fall till z = 0 för båda vektorerna. Resultatet pekar då rakt längs z-axeln.
Att glömma att triangelns area är hälften av längden, inte hela.
Att blanda ihop den med skalärprodukten. Kryssprodukten ger en vektor, skalärprodukten ett tal.

Typiska uppgifter

Var används kryssprodukten?

Så gör du på räknaren

Räkna de tre koordinaterna en i taget, till exempel 2 × 6 − 3 × 5 =.
Skriv negativa tal inom parentes.
Längden: √((−3)² + 6² + (−3)²) =.
Vissa räknare har ett vektorläge med en kryssproduktfunktion. Det handräknade schemat fungerar på alla räknare.

Alla verktyg finns bland kalkylatorerna för matriser och vektorer och på matematiksidan.