Vad är ett transponat?
Transponatet av en matris A skrivs Aᵀ och får man genom att låta raderna bli kolumner. Första raden i A blir första kolumnen i Aᵀ, andra raden blir andra kolumnen och så vidare. Talet som står i rad i och kolumn j hamnar alltså i rad j och kolumn i:
Exempel: A = [1 2 3; 4 5 6] har 2 rader och 3 kolumner. Transponatet blir [1 4; 2 5; 3 6], med 3 rader och 2 kolumner. En m×n-matris blir alltid en n×m-matris. En radvektor blir en kolumnvektor: [1 2 3 4 5] får storleken 5×1 efter transponering.
Kvadratiska matriser
För en kvadratisk matris behåller transponatet samma storlek, och talen på diagonalen stannar där de är. Det ser ut som att matrisen speglas i diagonalen. [1 2; 3 4] blir [1 3; 2 4]. Spåret, summan av diagonalen, är 5 både före och efter. Även determinanten är densamma, vilket betyder att en kvadratisk matris och dess transponat antingen båda har en invers eller båda saknar en. Det gör transponatet till ett tryggt verktyg att räkna med.
Symmetriska matriser
En matris är symmetrisk om den är lika med sitt transponat, alltså om för alla i och j. Talen speglas då i diagonalen. [1 7; 7 3] är ett exempel, och kalkylatorn svarar "ja, A = Aᵀ". Symmetriska matriser dyker upp naturligt i många sammanhang, till exempel avståndstabeller, där avståndet från A till B är detsamma som från B till A, och korrelationstabeller i statistik. Är i stället Aᵀ = −A kallas matrisen antisymmetrisk, och då måste diagonalen bestå av nollor. [0 2; −2 0] ger svaret "antisymmetrisk, Aᵀ = −A".
Räkneregler för transponat
- Transponerar man två gånger får man tillbaka matrisen: (Aᵀ)ᵀ = A.
- Summan transponeras term för term: (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ.
- Ett tal kan flyttas ut: (kA)ᵀ = kAᵀ.
- En produkt vänder ordning: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
- Determinanten ändras inte: det(Aᵀ) = det(A).
- Inversen av transponatet är transponatet av inversen.
Regeln om produkten är den som oftast ställer till det. Eftersom ordningen spelar roll vid matrismultiplikation måste man vända ordningen när man transponerar en produkt, på samma sätt som när man tar inversen av en produkt i inversmatriskalkylatorn. Att determinanten är densamma kan du testa i determinantkalkylatorn.
Transponat och skalärprodukt
Om två vektorer skrivs som kolumnvektorer u och v kan skalärprodukten skrivas som en matrisprodukt: . Radvektorn uᵀ gånger kolumnvektorn v ger en 1×1-matris, alltså ett tal. Det är ett av skälen till att transponatet förekommer så ofta i formler inom linjär algebra, statistik och maskininlärning.
Radvektorer och kolumnvektorer
I linjär algebra skrivs vektorer ofta som kolumner, en kolumnvektor med ett tal per rad. I text är det opraktiskt att skriva talen under varandra, så man skriver dem på en rad och sätter ett T efter, till exempel (1, 2, 3)ᵀ. Det betyder samma kolumnvektor, bara skriven liggande för att spara plats. Den notationen är vanlig i böcker och artiklar, och den förklarar varför transponatet dyker upp så ofta även när ingen tänker på matriser.
Matrisen gånger sitt eget transponat
Produkterna AAᵀ och AᵀA finns alltid, oavsett storlek, eftersom dimensionerna passar ihop automatiskt. Om A är 2×3 blir AAᵀ en 2×2-matris och AᵀA en 3×3-matris. Båda är symmetriska. I statistik används AᵀA för att räkna fram regressionslinjer med minsta kvadratmetoden, och diagonalen i AᵀA innehåller summan av kvadraterna i varje kolumn. Det är ett bra exempel på hur en enkel operation som att vända rader till kolumner blir en byggsten i större beräkningar.
Rang och transponat
Rangen av en matris är densamma som rangen av dess transponat. Det betyder att antalet linjärt oberoende rader alltid är lika med antalet linjärt oberoende kolumner, ett resultat som inte är självklart när man ser det första gången. Rangen räknar kalkylatorn för matrisrang ut.
Ett vardagligt exempel
Tänk på en tabell i ett kalkylark där varje rad är en månad och varje kolumn en produkt. Att transponera tabellen betyder att byta så att produkterna blir rader och månaderna kolumner. Innehållet är detsamma, bara organiserat på andra hållet. Samma sak händer med en bild som roteras och speglas: pixlarna bildar ett rutnät, och en skärm i upplösningen 1 920 × 1 080 blir 1 080 × 1 920 när rader och kolumner byter plats.
Vanliga fel
- Att vända matrisen upp och ned eller spegla den åt sidan i stället för i diagonalen.
- Att tro att transponatet av en 2×3-matris också är 2×3. Den blir 3×2.
- Att skriva (AB)ᵀ = AᵀBᵀ. Ordningen ska vändas.
- Att blanda ihop transponat och invers. Bara för vissa matriser, de ortogonala, är de lika.
Typiska uppgifter
En vanlig uppgift ger en matris och ber om transponatet och om matrisen är symmetrisk. Skriv första raden som första kolumn och så vidare, och jämför sedan med originalet. En annan uppgift är att visa en räkneregel, till exempel att AAᵀ alltid är symmetrisk. Det följer av produktregeln: (AAᵀ)ᵀ = (Aᵀ)ᵀAᵀ = AAᵀ.
Så gör du på räknaren
Räknare med matrisläge har ofta en funktion för transponat i matrismenyn, markerad med ett upphöjt T. För hand går det snabbt: skriv av raderna som kolumner. Fler verktyg finns bland kalkylatorerna för matriser och vektorer och på matematiksidan.