Invers matris

Vad är en invers matris?

Inversen till en kvadratisk matris A är den matris $A^{-1}$ som ger enhetsmatrisen när de multipliceras: $A·A^{-1}=A^{-1}·A=I$. Enhetsmatrisen I har ettor på diagonalen och nollor i övrigt och fungerar som talet 1. Inversen spelar alltså samma roll för matriser som 1/x gör för tal. Eftersom det inte finns någon division med matriser är inversen det sätt man "delar" på.

Alla matriser har inte en invers. Det krävs att matrisen är kvadratisk och att determinanten inte är 0. En matris utan invers kallas singulär, och det motsvarar att försöka dela med noll.

Inversen till en 2×2-matris

För en 2×2-matris med raderna (a b) och (c d) finns en genväg. Räkna determinanten ad − bc. Byt sedan plats på a och d, byt tecken på b och c och dela varje tal med determinanten:

$A^{-1}=\frac{1}{\mathrm{ad}-\mathrm{bc}}·B$, där B = [d −b; −c a].

Exempel: A = [1 2; 3 4] har determinanten $1·4-2·3=-2$. Inversen blir [−2 1; 3/2 −1/2], eller i decimalform [−2 1; 1,5 −0,5]. Med A = [4 7; 2 6] är determinanten 10, och inversen blir [3/5 −7/10; −1/5 2/5]. Har matrisen heltal och determinanten 1 eller −1 blir inversen också heltal: [2 1; 1 1] har inversen [1 −1; −1 2].

Gauss–Jordan för större matriser

För 3×3 och större matriser är Gauss–Jordans metod det säkraste sättet. Skriv A och enhetsmatrisen bredvid varandra, [A | I]. Gör sedan radoperationer på hela raden tills vänsterdelen har blivit I. Det som då står till höger är inversen. Tillåtna radoperationer är:

1. Byta plats på två rader.
2. Multiplicera eller dela en rad med ett tal som inte är 0.
3. Addera en multipel av en rad till en annan rad.

Arbeta kolumn för kolumn: skaffa en etta på diagonalen och nollor ovanför och under den. Exempel: A = [2 0 1; 1 1 0; 0 3 1] har determinanten 5 och inversen [1/5 3/5 −1/5; −1/5 2/5 1/5; 3/5 −6/5 2/5]. Kalkylatorn visar varje radoperation och hur matrisen ser ut efter den, så att du kan följa med på papper.

Kontrollera svaret

Det är lätt att räkna fel i en lång radreducering, men kontrollen är enkel: multiplicera A med inversen och se att det blir I. Kalkylatorn gör det automatiskt. För hand räcker det ofta att kontrollera ett par tal, till exempel att första raden i A gånger första kolumnen i inversen blir 1 och gånger andra kolumnen blir 0. Matrismultiplikationen kan du göra i matriskalkylatorn.

När saknas inversen?

Om determinanten är 0 finns ingen invers. Det syns också i Gauss–Jordan: någon gång blir en hel rad i vänsterdelen noll, och då går det inte att få en etta på diagonalen. Matrisen [1 2; 2 4] är ett exempel, eftersom andra raden är två gånger den första. Determinanten blir 0. Determinanten kan du räkna med determinantkalkylatorn, och hur många oberoende rader som finns visar kalkylatorn för matrisrang.

Användning: lösa ekvationssystem

Ett ekvationssystem kan skrivas som Ax = b. Multiplicera båda sidor med inversen från vänster så får du $x=A^{-1}b$. Systemet 2x + y = 5, x + y = 3 har koefficientmatrisen [2 1; 1 1] med inversen [1 −1; −1 2], och $x=1·5+(-1)·3=2$ och $y=(-1)·5+2·3=1$. För ett enstaka system är radreducering direkt oftast snabbare, men inversen är praktisk när samma koefficienter ska användas med många olika högerled. Steg för steg-lösning finns i ekvationssystemkalkylatorn.

Räkneregler för inverser

• Inversen är unik: en matris har högst en invers.
• Inversen av inversen är matrisen själv.
• Inversen av en produkt vänder ordningen: (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.
• Inversen av transponatet är transponatet av inversen.
• Determinanten av inversen är 1 delat med determinanten av A.

Typiska uppgifter

En vanlig uppgift ger en matris med en okänd parameter, till exempel [k 2; 3 6], och frågar för vilka värden inversen finns. Räkna determinanten som ett uttryck, här 6k − 6, och konstatera att inversen finns för alla k utom k = 1. En annan uppgift är att visa att två givna matriser är varandras inverser. Då behöver man inte räkna någon invers alls, det räcker att multiplicera dem och se att produkten blir enhetsmatrisen. En tredje typ är matrisekvationer som AX = B eller XA = B. Den första löses med X = A⁻¹B och den andra med X = BA⁻¹, och det är just ordningen som avgör om svaret blir rätt.

Vanliga fel

• Att invertera talen ett och ett, 1/a för varje tal. Det ger inte inversen.
• Att glömma att byta tecken på b och c i 2×2-formeln, eller att byta plats på dem i stället för på a och d.
• Att bara göra radoperationen på vänsterdelen och glömma högerdelen i [A | I].
• Att försöka invertera en matris som inte är kvadratisk.
• Att skriva x = bA⁻¹ i stället för x = A⁻¹b. Ordningen spelar roll.

Så gör du på räknaren

På räknare med matrisläge definierar du matrisen och använder sedan funktionen för invers, ofta samma knapp som för 1/x. Räknaren visar ofta decimaltal, så jämför med det exakta bråksvaret här. För 2×2 är det snabbt att räkna med genvägen ovan direkt på papper.

Att vända rader till kolumner gör transponatkalkylatorn. Matriser används också för att räkna om mellan färgrymder. Färgkoder som HEX och RGB omvandlar du i färgkodsomvandlaren. Alla verktyg finns bland kalkylatorerna för matriser och vektorer och på matematiksidan.