Ekvationssystem

Ett ekvationssystem är två eller flera ekvationer som ska gälla samtidigt. Med två obekanta, x och y, krävs normalt två ekvationer för att kunna bestämma båda. Systemet 2x + 3y = 12 och x − y = 1 har lösningen x = 3 och y = 2 — de enda värden som gör båda påståendena sanna på en gång.

Grafiskt är varje ekvation en rät linje, och lösningen är den punkt där linjerna skär varandra. Enskilda ekvationer med bara ett x löser du i vår ekvationslösare, och linjernas ekvationer räknar du fram i kalkylatorn för räta linjens ekvation.

För systemet ax + by = c och dx + ey = f finns två standardmetoder:

• Substitutionsmetoden: lös ut en variabel ur den ena ekvationen och sätt in uttrycket i den andra.
• Additionsmetoden: multiplicera ekvationerna så att en variabel får samma koefficient med olika tecken, och addera dem så att variabeln försvinner.
• Determinanten D = a·e − b·d avgör om systemet har en unik lösning.
• Är D skild från noll gäller x = (c·e − b·f) / D och y = (a·f − c·d) / D.
• Är D lika med noll är linjerna parallella — systemet saknar lösning eller har oändligt många.

1. Systemet är 2x + 3y = 12 och x − y = 1.
2. Lös ut x ur den andra ekvationen: x = y + 1.
3. Sätt in uttrycket i den första: 2(y + 1) + 3y = 12.
4. Förenkla: 2y + 2 + 3y = 12, alltså 5y = 10 och y = 2.
5. Sätt tillbaka i x = y + 1: x = 3.
6. Kontroll: 2 · 3 + 3 · 2 = 12 och 3 − 2 = 1. Båda stämmer.

Substitutionsmetoden passar bäst när en variabel redan står ensam eller har koefficienten 1. Är koefficienterna kluriga är additionsmetoden oftast snabbare — och den är också den kalkylatorn redovisar i sin lösningsgång. Båda metoderna ger identiska svar, så valet handlar enbart om vilken som ger minst räknearbete för just det system du har framför dig.

Systemet 2x + 4y = 10 och x + 2y = 3 ser lösbart ut men är det inte. Multiplicerar du den andra ekvationen med 2 får du 2x + 4y = 6, vilket motsäger den första ekvationens 2x + 4y = 10. Samma vänsterled kan inte vara både 6 och 10.

Grafiskt betyder det att linjerna är parallella och aldrig möts. Är ekvationerna i stället identiska efter multiplikation sammanfaller linjerna, och varje punkt på linjen är en lösning — systemet har då oändligt många lösningar. Kalkylatorn känner igen båda fallen.

• Att bara multiplicera en del av ekvationen — hela ekvationen måste multipliceras, alla termer i båda leden.
• Att glömma sätta tillbaka värdet och bara redovisa en av de två obekanta.
• Att tappa tecken vid subtraktion av ekvationer, särskilt när koefficienterna är negativa.
• Att kontrollera lösningen i bara den ena ekvationen — den måste stämma i båda.
• Att tolka ett system utan lösning som ett räknefel, när linjerna faktiskt är parallella.
• Att blanda ihop substitution och addition mitt i lösningen i stället för att fullfölja en metod.

Ekvationssystem introduceras i årskurs 9 med enkla fall och behandlas på allvar i gymnasiets Matematik 1a, 1b och 1c, där både substitutions- och additionsmetoden ingår. I Matematik 2 kopplas de till grafisk lösning och till linjära funktioner.

På högskolan generaliseras samma idé till linjär algebra med matriser och Gauss-elimination, där system med många obekanta löses systematiskt. Determinanten som avgör lösbarheten här är exakt samma begrepp som används där — bara i en större variant.

Grafräknare och ClassWiz har ett läge för ekvationssystem: välj EQN eller Simultaneous, ange antal obekanta och mata in koefficienterna rad för rad. Räknaren returnerar x och y direkt men visar ingen lösningsgång.

På en enkel räknare gör du metoden för hand och använder räknaren bara till aritmetiken. Det är också vad som krävs på prov, där redovisningen bedöms — därför skriver kalkylatorn här ut varje steg i additionsmetoden i klartext.

Överallt där två villkor ska uppfyllas samtidigt. Vid vilken förbrukning blir två elavtal lika dyra? Hur ska två sorters lösningar blandas för att nå en viss koncentration? Hur många vuxna och barn var det om biljetterna kostar olika och både antalet och totalsumman är kända?

Inom ekonomi används de för break even-analys mellan två prismodeller, och i fysiken för att lösa krafter i flera riktningar samtidigt. Skärningspunkten mellan två linjer är i grunden samma problem — se vår kalkylator för räta linjens ekvation. Även blandningsproblem i kemin, där två lösningar med olika koncentration ska ge en tredje, är ekvationssystem i förklädnad.

Substitutionsmetoden löser ut en variabel och sätter in uttrycket i den andra ekvationen. Den är naturlig när en variabel redan står ensam, som i x − y = 1. Additionsmetoden justerar koefficienterna och adderar ekvationerna så att en variabel elimineras, vilket är smidigare när båda ekvationerna har koefficienter skilda från 1.

Båda ger samma svar, och valet är en fråga om vilken som ger minst räknearbete för just det systemet. Additionsmetoden skalar dessutom bättre till fler obekanta, vilket är varför den ligger till grund för Gauss-elimination i linjär algebra.