Fibonaccital – räkna ut och testa

Vad är fibonaccitalen?

Fibonaccis talföljd börjar med 0 och 1. Därefter är varje tal summan av de två föregående: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 och så vidare. Talen numreras från noll, så F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1 och F(3) = 2. En del böcker börjar i stället med 1, 1, vilket bara flyttar numreringen ett steg. Kontrollera därför vilken start en uppgift använder.

Följden är uppkallad efter den italienske matematikern Leonardo av Pisa, kallad Fibonacci, som beskrev den i en räknebok från 1200-talet. Regeln skrivs $F\left(n\right)=F(n-1)+F(n-2)$, och en sådan regel där varje tal bestäms av de föregående kallas rekursiv. Det skiljer fibonaccitalen från en aritmetisk eller geometrisk talföljd, där varje steg är samma addition eller multiplikation.

Exempel

Det tionde fibonaccitalet är F(10) = 55, och F(20) = 6 765. Talen växer snabbt: F(100) har 21 siffror och är 354 224 848 179 261 915 075. Kalkylatorn räknar exakt med heltal av godtycklig längd, så även F(1000), som har 209 siffror, blir rätt in på sista siffran. Långa tal visas avrundat i rutorna och i sin helhet under Så räknade vi.

Summan av de tio första fibonaccitalen, från F(0) till F(9), är 88. Det är inget sammanträffande att det är ett fibonaccital minus 1: summan av de första talen är alltid F(n + 2) − 1. Det följer av att varje tal kan skrivas som skillnaden mellan två senare tal.

Gyllene snittet och Binets formel

Delar man ett fibonaccital med det föregående närmar sig kvoten ett bestämt tal: 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,615. För F(20) delat med F(19) är kvoten 1,618034 (φ ≈ 1,618034). Talet kallas gyllene snittet och skrivs $\phi$:

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx \mathrm{1,618}$

Det betyder att fibonaccitalen till slut växer ungefär som en geometrisk följd med kvoten 1,618. Binets formel bygger på det och ger fibonaccitalen direkt: $F\left(n\right)\approx \frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}$. Avrundat till närmaste heltal blir svaret exakt rätt. Förhållanden som närmar sig ett fast tal räknar förhållandekalkylatorn på, och tillväxt med fast kvot beskrivs i kalkylatorn för exponentiell tillväxt.

Hur testar man om ett tal är ett fibonaccital?

Det finns ett knep som slipper räkna fram hela följden: ett heltal x är ett fibonaccital precis när $5x^2+4$ eller $5x^2-4$ är ett kvadrattal. För 144 är $5·{144}^2+4=\mathrm{103 684}$, som är ${322}^2$. Kalkylatorn bekräftar att 144 är ett fibonaccital och ger platsen F(12). Talet 100 är inte ett fibonaccital. Det ligger mellan 89 och 144.

Var dyker fibonaccitalen upp?

Fibonaccital förekommer i växtriket, till exempel i antalet spiraler i solrosens frökorgar och i kottar, där antalet spiraler åt de två hållen ofta är två grannar i följden. Det är inte en lag, utan ett mönster som uppstår när nya frön eller blad läggs till i en fast vinkel. Samma fråga om hur mycket utrymme varje planta får dyker upp i trädgården, där planteringsavståndskalkylatorn räknar ut hur tätt man kan sätta plantor i en rabatt.

Inom matematiken är följden full av samband. Varannan, var tredje och var fjärde term har egna delbarhetsmönster: var tredje fibonaccital är jämnt, och var femte är delbart med 5. Resterna vid division med ett fast tal upprepar sig i en period, något som går att undersöka med modulokalkylatorn. Vissa fibonaccital är också primtal, till exempel 2, 3, 5, 13, 89 och 233.

Påståenden om att gyllene snittet finns i berömda byggnader och konstverk är ofta överdrivna. Mätningar går nästan alltid att anpassa så att ett förhållande hamnar nära 1,6, så sådana exempel bör tas med en nypa salt.

Kvadrater och rektanglar

Lägger man kvadrater med sidorna 1, 1, 2, 3, 5 och 8 bredvid varandra i en spiral bildar de hela tiden en rektangel, och rektangelns sidor är två grannar i följden. Det ger ett vackert samband: summan av kvadraterna på de första fibonaccitalen är produkten av de två sista. Till exempel är $1^2+1^2+2^2+3^2+5^2=40=5·8$. Ritar man en kvartscirkel i varje kvadrat får man den spiral som ofta används för att illustrera följden.

Ett annat samband gäller tre tal i rad: produkten av det första och det tredje skiljer sig alltid med exakt 1 från kvadraten på det mittersta. Med 5, 8 och 13 blir $5·13=65$ och $8^2=64$. Sådana mönster är bra att pröva själv med kalkylatorns lista.

Vanliga fel

• Att blanda ihop numreringen. Med F(0) = 0 är F(10) = 55, men räknar man 0 som det första talet är det tionde talet 34.
• Att tro att följden är geometrisk. Kvoten är inte konstant, den bara närmar sig 1,618.
• Att avrunda Binets formel för tidigt. Använd många decimaler i $\sqrt{5}$, annars blir stora fibonaccital fel.
• Att räkna stora fibonaccital på räknaren och tro att svaret är exakt. Räknaren visar bara de första 10–12 siffrorna.

Typiska uppgifter

En vanlig uppgift är att skriva ut de första termerna och hitta ett mönster, till exempel att var tredje term är jämn. En annan är att visa summaformeln genom att skriva upp de första summorna: 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, och se att varje summa är ett fibonaccital minus 1. I programmering används fibonacci ofta som övning i rekursion och loopar.

Så gör du på räknaren

• För de första talen räcker det att addera för hand: skriv upp två tal, lägg ihop dem och flytta fram ett steg.
• Binets formel: ((1 + √5) ÷ 2) ^ 20 ÷ √5 = ger cirka 6 765,00003, alltså 6 765.
• För stora n, använd kalkylatorn ovan, som räknar exakt.

Fler talföljder och summor finns i talseriekalkylatorn. Alla kalkylatorer om tal finns bland kalkylatorerna för talteori och aritmetik och på matematiksidan.