Talföljd – aritmetisk och geometrisk

Vad är en talföljd?

En talföljd är en uppräkning av tal i en bestämd ordning: första termen, andra termen och så vidare. Termerna skrivs $a_1,a_2,a_3$ och term nummer n skrivs $a_n$. De två vanligaste sorterna har en enkel regel för hur man kommer från en term till nästa, och därför finns det formler som ger vilken term som helst direkt, utan att man behöver räkna sig fram.

• Aritmetisk talföljd: samma tal läggs till varje gång. 3, 7, 11, 15 ökar med 4. Talet kallas differens och skrivs d.
• Geometrisk talföljd: varje term multipliceras med samma tal. 3, 6, 12, 24 dubblas. Talet kallas kvot och skrivs q.

Lägger man ihop termerna i en talföljd får man en talserie. Summan av de n första termerna skrivs $S_n$. Fler sorters summor och serier finns i talseriekalkylatorn.

Formler för aritmetisk talföljd

För att komma till term n från första termen lägger man till differensen n − 1 gånger. Det ger formeln $a_n=a_1+(n-1)·d$. Summan räknas smidigast genom att para ihop första och sista termen, andra och näst sista och så vidare. Varje par har samma summa, och det finns n/2 par:

$S_n=\frac{n·(a_1+a_n)}{2}$

Med första termen 3 och differensen 4 blir term 10 lika med $3+9·4=39$. Summan av de tio första termerna blir $\frac{10·(3+39)}{2}=210$. Nästa tre termer är 43; 47; 51. Summan av talen 1 till 100 blir på samma sätt 5 050: 50 par som vart och ett har summan 101.

Formler för geometrisk talföljd

I en geometrisk talföljd multipliceras man med kvoten n − 1 gånger: $a_n=a_1·q^{n-1}$. Summaformeln får man genom att multiplicera hela summan med q och dra bort den ursprungliga summan. Nästan alla termer tar då ut varandra, och kvar blir:

$S_n=\frac{a_1·(q^n-1)}{q-1}$

Formeln fungerar inte när q = 1, eftersom man då skulle dela med noll. Men då är alla termer lika, och summan blir helt enkelt n gånger första termen. Med första termen 3 och kvoten 2 blir term 10 lika med $3·2^9=\mathrm{1 536}$, och summan av de tio första blir 3 069. Potenser räknar potenskalkylatorn ut.

Hitta formeln ur de första termerna

Ofta får man bara början av en följd och ska hitta regeln. Börja med att räkna skillnaden mellan varje term och nästa. Är skillnaderna lika är följden aritmetisk. Annars räknar man kvoterna, alltså varje term delat med den före. Är kvoterna lika är följden geometrisk. För 2, 6, 18 är kvoten 3, och kalkylatorn ger formeln aₙ = 2 · 3^(n − 1) och nästa termer 54; 162; 486.

Alla följder är inte av de här två sorterna. Kvadrattalen 1, 4, 9, 16 har skillnaderna 3, 5, 7, som själva växer jämnt. Kalkylatorn svarar då att följden är varken aritmetisk eller geometrisk. En annan känd följd är fibonaccitalen, där varje tal är summan av de två före.

Ränta på ränta är en geometrisk talföljd

Pengar som växer med en fast procent varje år bildar en geometrisk talföljd. En ökning med 5 % betyder kvoten 1,05. Sätter du in 10 000 kr och räntan är 5 % om året är beloppet efter 10 år $\mathrm{10 000}·{\mathrm{1,05}}^{10}$, vilket är term 11 i följden: 16 288,95 kr. Samma tankesätt ligger bakom ränta på ränta-kalkylatorn och annuitetslånekalkylatorn, där summaformeln för geometriska följder används för att räkna ut en jämn månadsbetalning.

Allt som växer med en fast procent, som befolkningar, bakterier eller priser, följer samma mönster. Det kallas exponentiell tillväxt, och hur lång tid det tar att dubbla ett värde räknar fördubblingstidskalkylatorn ut. Aritmetiska följder dyker i stället upp när något ökar med ett fast belopp, till exempel ett sparande med samma insättning varje månad utan ränta.

Vanliga fel

• Att använda n i stället för n − 1. Term 1 är första termen, så den ska inte multipliceras med kvoten. Därför står det n − 1 i exponenten.
• Att blanda ihop term och summa. $a_n$ är ett enda tal i följden, $S_n$ är summan av alla fram till det.
• Att använda den geometriska summaformeln när q = 1. Då blir nämnaren noll.
• Att räkna kvoten som skillnad. 2, 6, 18 ökar inte med samma tal, men multipliceras med samma tal.
• Att glömma att medelvärdet av första och sista termen är medelvärdet för hela den aritmetiska följden. Det är därför summaformeln fungerar, se medelvärdeskalkylatorn.

Typiska uppgifter

En vanlig uppgift ger två termer och frågar efter formeln. Om term 3 är 11 och term 7 är 27 i en aritmetisk följd har differensen lagts till fyra gånger mellan dem: d = (27 − 11)/4 = 4. Då är första termen 11 − 2 · 4 = 3. För en geometrisk följd gör man på samma sätt med division: om term 2 är 6 och term 4 är 54 har kvoten multiplicerats två gånger, så $q^2=9$ och q = 3 eller q = −3.

En annan typ frågar hur många termer som behövs för att summan ska passera ett visst värde. För aritmetiska följder ger det en andragradsekvation, för geometriska en ekvation som löses med logaritmer. Kalkylatorn kan användas för att pröva sig fram: ändra n tills summan passerar gränsen.

Så gör du på räknaren

• Aritmetisk term: 3 + (10 − 1) × 4 =. Parentesen är viktig.
• Geometrisk term: 3 × 2 ^ (10 − 1) =. Skriv exponenten inom parentes.
• Geometrisk summa: 3 × (2 ^ 10 − 1) ÷ (2 − 1) =.
• Många räknare kan också skriva ut en följd genom att upprepa en operation med Ans: skriv 3 =, sedan Ans + 4 = och tryck = flera gånger.

Fler kalkylatorer om tal och talföljder finns bland kalkylatorerna för talteori och aritmetik och på matematiksidan.