Vad betyder delbarhet?
Ett heltal a är delbart med b om divisionen går jämnt ut, alltså om resten blir 0. 360 är delbart med 8, eftersom 360 = 8 · 45. Talet b kallas då en delare eller faktor till a. Varje tal är delbart med 1 och med sig självt, och ett tal som inte har några andra delare är ett primtal.
Delbarhet är grunden för att förkorta bråk, hitta gemensamma nämnare och dela upp saker i lika stora grupper. Delbarhetsreglerna gör att du kan avgöra saken utan att dividera, bara genom att titta på siffrorna.
Delbarhetsreglerna
- 2: sista siffran är jämn (0, 2, 4, 6 eller 8).
- 3: siffersumman är delbar med 3.
- 4: talet som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 4.
- 5: sista siffran är 0 eller 5.
- 6: talet är delbart med både 2 och 3.
- 7: stryk sista siffran och dra bort den dubbla sista siffran från resten. Upprepa tills talet är litet nog att avgöra.
- 8: talet som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med 8.
- 9: siffersumman är delbar med 9.
- 10: sista siffran är 0.
- 11: den växelvisa summan av siffrorna, med plus och minus omväxlande bakifrån, är delbar med 11.
- 12: talet är delbart med både 3 och 4.
Exempel: 360
För 360 är siffersumman 3 + 6 + 0 = 9. Den är delbar med både 3 och 9, så 360 är delbart med 3 och med 9. De två sista siffrorna bildar 60, som är delbart med 4, och de tre sista bildar 360, som är delbart med 8. Sammantaget är 360 delbart med alla tal från 2 till 12 utom 7 och 11. Kalkylatorn visar att 360 har 24 delare och primtalsfaktorerna 2³ · 3² · 5.
Varför fungerar reglerna?
Reglerna för 2, 5 och 10 bygger på att 10 är delbart med både 2 och 5. Alla siffror utom den sista står för tiotal, hundratal och så vidare, och de är redan delbara. Bara den sista siffran kan förstöra. På samma sätt är 100 delbart med 4 och 1000 med 8, så det räcker att titta på de två respektive tre sista siffrorna.
Reglerna för 3 och 9 bygger på att 10, 100 och 1000 alla ger resten 1 vid division med 9 (och med 3). Talet 360 är 3 · 100 + 6 · 10 + 0, och har därför samma rest som 3 + 6 + 0. Det är ett exempel på modulär räkning, där man bara bryr sig om resten. Regeln för 11 bygger på att 10 ligger ett steg under 11, så att 10 ≡ −1 (mod 11). Resten av 10 är 10, men den fungerar som −1 i uträkningen, och därför växlar tecknen mellan siffrorna.
Att räkna antalet delare
Antalet delare går att räkna ut direkt från primtalsfaktoriseringen. Är talet kan en delare innehålla 0 till 3 tvåor, 0 till 2 treor och 0 eller 1 femma. Det ger kombinationer, och alltså 24 delare. Talet 720 720 har ovanligt många delare för sin storlek, 240 stycken, eftersom det innehåller alla små primtal.
Ett tal där summan av alla delare utom talet självt blir talet kallas perfekt. 28 är ett sådant: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Kalkylatorn markerar det som "sammansatt, perfekt tal". Ett primtal som 97 har bara 2 delare.
Testa ett eget tal
Vill du veta om talet är delbart med något annat, till exempel 13, 15 eller 25, skriver du det i fältet för egen delare. För 360 och 15 svarar kalkylatorn "delbart med 15, kvoten är 24". Är talet inte delbart visas resten, som du också kan få med kalkylatorn för kvot och rest.
Vanliga fel
- Att använda regeln för 3 på 6 utan att kolla 2. Ett tal med siffersumma delbar med 3 kan vara udda och är då inte delbart med 6.
- Att tro att delbart med 2 och 4 ger delbart med 8. 12 är delbart med både 2 och 4 men inte med 8. Det fungerar bara när faktorerna saknar gemensamma delare, som 3 och 4 för 12.
- Att titta på fel siffror för 4. Det är talet som bildas av de två sista siffrorna som ska testas, inte siffrorna var för sig.
- Att glömma att 1 och talet självt är delare när man räknar antalet.
Typiska uppgifter
"Vilken siffra ska stå på x:s plats i 4x2 för att talet ska vara delbart med 9?" Siffersumman 4 + x + 2 måste vara delbar med 9, alltså 6 + x = 9 och x = 3. Talet blir 432. "Är 1001 delbart med 7, 11 och 13?" Regeln för 7 ger 100 − 2 = 98, som är 7 · 14. Den växelvisa summan 1 − 0 + 0 − 1 är 0, så talet är delbart med 11. Kalkylatorn ger faktorerna 7 · 11 · 13, så svaret är ja på alla tre.
Delbarhet i vardagen
När bråk ska förkortas letar man efter gemensamma delare i täljare och nämnare, som kalkylatorn för att förkorta bråk gör. Den största gemensamma delaren räknas ut med SGD-kalkylatorn och den minsta gemensamma multipeln med MGN-kalkylatorn. Delbarhet avgör också om något kan delas upp jämnt. 360 går att dela jämnt med många tal, vilket gör det praktiskt när ett varv ska delas i lika stora delar.
Så gör du på räknaren
Dela talet och se om svaret blir ett heltal. 360 / 15 = 24 är ett heltal, så 360 är delbart med 15. 360 / 7 = 51,43 är det inte. För stora tal kan räknaren avrunda, så kontrollera genom att multiplicera tillbaka.
Fler kalkylatorer om heltal finns bland kalkylatorerna för talteori och aritmetik och på matematiksidan.