Primtalsfaktorisering – dela upp ett tal i primtal

Vad är primtalsfaktorisering?

Att primtalsfaktorisera ett tal betyder att skriva det som en produkt av primtal. 12 = 2 · 2 · 3, och 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5. Lika faktorer skrivs ihop med potenser, så 360 blir 2³ · 3² · 5.

Det finns bara ett sätt att göra det, om man bortser från i vilken ordning faktorerna står. Det kallas aritmetikens fundamentalsats och är skälet till att 1 inte räknas som primtal: annars skulle man kunna lägga till hur många ettor som helst och få oändligt många uppdelningar.

Så gör du: divisionstrappan

Den vanligaste metoden i skolan är att dela med det minsta primtalet som går jämnt upp, och sedan fortsätta med kvoten:

1. Dela med 2 så länge talet är jämnt.
2. Dela sedan med 3 så länge det går, därefter 5, 7, 11 och så vidare.
3. Fortsätt tills kvoten blir 1. Alla tal du delat med är primtalsfaktorerna.
4. Samla lika faktorer med potenser.

$360/2=180$, $180/2=90$, $90/2=45$, $45/3=15$, $15/3=5$ och $5/5=1$. Faktorerna är 2, 2, 2, 3, 3 och 5, alltså $360=2^3·3^2·5$.

Ett alternativ är ett faktorträd. Du delar upp talet i två valfria faktorer, till exempel 360 = 10 · 36, och delar upp varje gren tills bara primtal återstår. Svaret blir detsamma oavsett hur du börjar.

Fler exempel

• 84 = 2² · 3 · 7, med 12 delare.
• 120 = 2³ · 3 · 5, med 16 delare.
• 100 = 2² · 5². Alla exponenter är jämna, så 100 är ett kvadrattal, 10².
• 1 024 = 2¹⁰, en ren tvåpotens.
• 2 026 = 2 · 1 013. Talet har bara två primtalsfaktorer, var och en en gång, och därför 4 delare: 1, 2, 1 013 och 2 026.

Antalet delare

Ur faktoriseringen kan du räkna ut hur många delare ett tal har utan att leta upp dem. En delare till 360 får innehålla 2 upp till tre gånger, 3 upp till två gånger och 5 noll eller en gång. Det ger 4 · 3 · 2 = 24 möjligheter. Regeln är att öka varje exponent med 1 och multiplicera. Summan av alla delare till 360 blir 1 170.

Ett tal är ett kvadrattal precis när alla exponenter är jämna, och det är också de tal som har ett udda antal delare. Vill du räkna med potenser kan du ta hjälp av potenskalkylatorn.

SGD, MGM och förkortning av bråk

Primtalsfaktorisering är det säkraste sättet att hitta största gemensamma delaren och minsta gemensamma multipeln för två tal. Faktorisera båda talen. SGD är produkten av de gemensamma faktorerna med den minsta exponenten, och minsta gemensamma multipeln (MGM) får den största exponenten av varje faktor. MGM är samma sak som minsta gemensamma nämnaren (MGN) när man adderar bråk.

För 84 och 120: $84=2^2·3·7$ och $120=2^3·3·5$. SGD blir $2^2·3=12$ och minsta gemensamma multipeln blir $2^3·3·5·7=840$. Med SGD kan du förkorta bråk: 84/120 delat med 12 uppe och nere blir 7/10.

Vanliga fel

• Att stanna vid en faktor som inte är ett primtal. 60 = 4 · 15 är en faktorisering, men inte i primtal. Fortsätt tills alla faktorer är primtal.
• Att ta med 1 som faktor. 1 är inget primtal och ska inte stå med.
• Att glömma att dela flera gånger med samma tal. 8 innehåller 2 tre gånger, inte en.
• Att blanda ihop antal primtalsfaktorer med antal delare. 12 har tre primtalsfaktorer räknat med upprepning men sex delare.

Typiska uppgifter

"Primtalsfaktorisera 180" löses med trappan: 180, 90, 45, 15, 5, 1, alltså $2^2·3^2·5$. En svårare uppgift är att avgöra om ett tal är delbart med ett annat utan att dela: 360 är delbart med 24 eftersom $24=2^3·3$ ryms i faktoriseringen av 360. Delbarhetskalkylatorn visar snabba regler för de vanligaste delarna. I algebra fortsätter samma idé när man faktoriserar uttryck som $x^2-9=(x+3)(x-3)$.

Var används det?

Primtalsfaktorisering används så fort två cykler ska stämma överens. Två kugghjul med 12 och 18 kuggar möts i samma läge igen efter 36 kuggar, eftersom $12=2^2·3$ och $18=2·3^2$ ger minsta gemensamma multipeln $2^2·3^2=36$. Samma räkning visar när två busslinjer som går var 12:e och var 18:e minut avgår samtidigt igen, efter 36 minuter.

När det gäller bråk gör faktoriseringen det enkelt att se vilka nämnare som ger ändliga decimaltal. Ett förkortat bråk blir ett ändligt decimaltal precis när nämnaren bara innehåller faktorerna 2 och 5. 3/40 blir 0,075, eftersom $40=2^3·5$, medan 1/3 och 1/7 blir oändliga, periodiska decimaltal.

Inom datasäkerhet bygger viss kryptering på att det är lätt att multiplicera två stora primtal men mycket svårt att faktorisera produkten. Talen som används där har hundratals siffror, långt mer än den här kalkylatorn hanterar.

Så gör du på räknaren

• Dela med 2 upprepade gånger och skriv ner varje 2:a. Fortsätt med 3, 5 och 7.
• Är kvoten ett heltal har du hittat en faktor. Får du decimaler går talet inte att dela med det primtalet.
• Vissa räknare kan primtalsfaktorisera direkt, men räkningen för hand krävs oftast på prov.

Fler kalkylatorer om delare och primtal finns bland kalkylatorerna för talteori och aritmetik och på matematiksidan.