Grundpotensform – vetenskaplig notation

Vad är grundpotensform?

Grundpotensform, eller vetenskaplig notation, är ett sätt att skriva mycket stora och mycket små tal kort och tydligt. Talet skrivs som $a·{10}^n$, där $a$ är minst 1 och mindre än 10, och $n$ är ett heltal.

602 000 000 000 000 000 000 000 skrivs 6,02 · 10²³, och 0,00045 skrivs 4,5 · 10⁻⁴. I stället för att räkna nollor räcker det att läsa exponenten: den visar ungefär hur stort talet är. Formen används i naturvetenskap och teknik, och det är den räknare visar när ett svar blir för långt för displayen.

Så skriver du om ett tal

1. Flytta decimaltecknet så att det står efter den första siffran som inte är noll.
2. Räkna hur många steg du flyttade. Det blir exponenten.
3. Flyttade du åt vänster, för att talet var stort, är exponenten positiv. Flyttade du åt höger, för att talet var litet, är den negativ.

Exempel: avståndet till solen är ungefär 150 000 000 000 meter. Decimaltecknet flyttas 11 steg åt vänster, så talet blir 1,5 · 10¹¹ m. För 0,00045 flyttas decimaltecknet 4 steg åt höger, till 4,5, och exponenten blir −4: 4,5 · 10⁻⁴.

Ett bra sätt att kontrollera sig är att ${10}^0=1$. Tal mellan 1 och 10 har exponenten 0, tal mellan 10 och 100 exponenten 1, och tal mellan 0,1 och 1 exponenten −1.

Andra skrivsätt

• E-notation används av räknare och datorer. 6,02 · 10²³ visas som 6,02E23, där E betyder "gånger tio upphöjt till".
• Teknisk form har en exponent som är delbar med 3, så att den passar SI-prefixen. 0,00045 blir 450 · 10⁻⁶, alltså 450 µ (mikro).
• Med SI-prefix blir 4 500 000 W 4,5 MW, och 150 000 000 000 m blir 150 Gm.

Prefixen kilo, mega och giga känner du igen från enhetsomvandlaren. För datamängder används samma prefix, men ibland med 1 024 i stället för 1 000 som steg, som dataenhetsomvandlaren och bitvärdeskalkylatorn visar.

Räkna med tal i grundpotensform

Vid multiplikation multiplicerar du talen framför och lägger ihop exponenterna, eftersom ${10}^a·{10}^b={10}^{a+b}$. Potenskalkylatorn visar fler potensregler. Exempel: $3·{10}^8·2·{10}^3=6·{10}^{11}$, som kalkylatorn skriver 6 · 10¹¹.

Vid division delar du talen och drar ifrån exponenterna. Ljuset färdas ungefär $3·{10}^8$ meter per sekund, så det tar $\frac{\mathrm{1,5}·{10}^{11}}{3·{10}^8}=\mathrm{0,5}·{10}^3$ sekunder från solen till jorden. Justerat blir det 5 · 10² sekunder, drygt åtta minuter.

Ibland hamnar talet framför utanför intervallet 1 till 10 och måste justeras. $6·{10}^{-3}·4·{10}^5=24·{10}^2$, som skrivs 2,4 · 10³.

Vid addition och subtraktion måste tiopotenserna vara lika innan du räknar. $3·{10}^8+2·{10}^3$ skrivs om till $3·{10}^8+\mathrm{0,00002}·{10}^8$, och svaret blir 3,00002 · 10⁸. Det visar också att det lilla talet nästan inte påverkar det stora.

Värdesiffror

Grundpotensform gör det tydligt hur många värdesiffror ett tal har. I 4 500 000 är det oklart om nollorna är mätta eller bara platshållare. Skriver man $\mathrm{4,5}·{10}^6$ har talet två värdesiffror, och $\mathrm{4,500}·{10}^6$ har fyra. Kalkylatorn räknar 2,50 till 3 värdesiffror och behåller nollan i 2,50 · 10⁰. Behöver du korta ner ett tal först kan du avrunda det.

Exempel på storlekar

Grundpotensform gör det lätt att jämföra saker som skiljer sig enormt i storlek. Exponenten visar direkt hur många tiopotenser det skiljer:

• Ljusets hastighet: ungefär $3·{10}^8$ m/s.
• Avståndet till solen: ungefär $\mathrm{1,5}·{10}^{11}$ m.
• En millimeter: $1·{10}^{-3}$ m, och en mikrometer: $1·{10}^{-6}$ m.
• En miljard: ${10}^9$. En biljon: ${10}^{12}$.

Att solen ligger $\mathrm{1,5}·{10}^{11}$ m bort och en millimeter är ${10}^{-3}$ m betyder att avståndet är 14 tiopotenser större. Utan grundpotensform hade det krävt att räkna nollor i två mycket långa tal.

Observera att svenska och engelska skiljer sig för stora tal. På svenska är en biljon ${10}^{12}$, medan engelskans "billion" är ${10}^9$, alltså en miljard. Grundpotensform tar bort den risken för missförstånd.

Vanliga fel

• Att talet framför blir 10 eller större, till exempel $24·{10}^2$. Flytta ett steg till: $\mathrm{2,4}·{10}^3$.
• Fel tecken på exponenten. Små tal under 1 har alltid negativ exponent.
• Att multiplicera exponenterna i stället för att lägga ihop dem vid multiplikation.
• Att addera talen framför utan att först göra exponenterna lika.

Typiska uppgifter

Vanliga uppgifter är att skriva ett tal i grundpotensform, att skriva ett tal i grundpotensform som vanligt tal, och att beräkna en produkt eller kvot. En klassisk uppgift är "hur många gånger större är $6·{10}^{24}$ än $2·{10}^{20}$?", som löses med division: $3·{10}^4$ gånger. Mycket stora tal, som fakulteter, är nästan omöjliga att hantera utan grundpotensform. Exponenten i en tiopotens är detsamma som tiologaritmen, vilket logaritmkalkylatorn visar.

Så gör du på räknaren

• De flesta räknare har en knapp märkt EXP, EE eller ×10ˣ. 6,02 EXP 23 matar in 6,02 · 10²³.
• Använd den knappen i stället för att skriva × 10 ^, så slipper du parenteser vid division.
• Visar räknaren 6.02E23 betyder det 6,02 · 10²³.
• Många räknare har ett läge för grundpotensform (ofta kallat SCI) och ett för teknisk form (ENG).

Fler kalkylatorer om tal och räkneregler finns bland kalkylatorerna för talteori och aritmetik och på matematiksidan.